1. Ha az AB oldal hosszát x-szel jelöljük, akkor a BC oldal kénytelen 7-x hosszú lenni. Az A csúcsnál fekvő szög koszinusza adott, ezzel szemkört a BC oldal, vagyis a 7-x hosszú oldal található. Ha felírjuk a koszinusztételt:

(7-x)² = 5² + x² -2*5*x*0,8, akkor egy másodfokú egyenletet kapunk, ami már megoldható.

A háromszög területéhez felhasználunk egy azonosságot; ha az A-nál lévő szöget α-val jelöljük, akkor ezt adták meg a feladatban:

cos(α)=0,8, ezt emeljük négyzetre:
cos²(α)=0,64. ismerjük azt az azonosságot, hogy sin²(α)+cos²(α)=1, vagyis cos²(α)=1-sin²(α), ezt írjuk be cos²(α) helyére:
1-sin²(α)=0,64, rendezés után 0,36=sin²(α) egyenletet kapjuk, ennek pedig két megoldása van: ±0,6=sin(α), mivel viszont a 180°-nál kisebb és 0-nál nagyobb szögek szinusza pozitív, ezért csak a 0,6-del kell foglalkozunk.

Kiszámoltuk x-et, tudjuk az adott szög szinuszát, így a T=a*b*sin(γ)/2 képlettel már meg tudjuk határozni a háromszög területét.

2. Azt tudjuk, hogy a cos(x) értékkészlete a [-1;1] intervallum, ezek alapján a 2*cos²(x) függvény értékkészlete a [0;2] intervallum (a függvényen belüli műveletek nem befolyásolják az értékkészletet, legfeljebb annyiban tehetnék meg, hogy adott helyen nem értelmezhető a függvény, de erről itt nincs szó). Emiatt a jobb oldal is kénytelen beleszorítkozni ebbe az intervallumba, tehát meg kell oldanunk a

0 ≤ 3x+3-x ≤2 egyenlőtlenséget; szedjük külön:

0 ≤ 3x+3-x, a 3-x=1/3x, tehát:
0 ≤ 3x+1/3x, ez szemmel láthatóan minden x-re igaz lesz, mivel a 3x minden tagja pozitív, reciprokénak, vagyis az 1/3x is pozitív, és két pozitív szám összege nem lesz 0. A másik egyenlőtlenség:
3x+1/3x ≤ 2, a jobb áttekinthetőség kedvéért legyen 3x=z:
z+1/z ≤ 2, szorzunk z-vel; általában esetszétválasztás kellene aszerint, hogy az ismeretlen előjele milyen, mivel ha negatívval szorzunk, akkor a reláció megfordul, azonban z értéke most csak pozitív lehet, így gond nélkül szorzunk:
z²+1 ≤ 2z, kivonunk 2z-t:
z²-2z+1 ≤ 0, a bal oldalon érdemes észrevenni, hogy (z-1)² látható (ha esetleg nem vennénk észre, akkor a megoldóképlettel számolva, majd használva a gyöktényezős alakot, ugyanezt kapnánk):
(z-1)² ≤ 0, ez pedig csak z=1 esetén fog megvalósulni. Mivel z=3x volt, ezért 1=3x ennek pedig az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt egy megoldása van, az x=1. Így ezt az egyenletet kapjuk, miután x helyére beírtuk az 1-et:

2*cos²((1+3y)/6) = 2, ez az egyenlet pedig már könnyedén megoldható (ügyeljünk arra, hogy gökvonás után 2 egyenlet születik; cos((1+3y)/6)=1 és cos((1+3y)/6)=-1, ezeket külön-külön meg kell oldani).

Az 1.) feladatnál nem elég azt írni, hogy a 3, 4, 5 oldalú derékszögű háromszög megfelel ezeknek?
3.)