1.)
a.)
Először is ismerjük a kör egyik alapegyenletét mely `(x-u)^2+(y-v)^2=r^2` ahol u jelöli a kör középpontjának az x koordinátáját míg v pedig az y koordinátát.

A kör középpontjának koordinátái tehát: `color(red)((3;-4))`

A kör sugara: `sqrt49=color(red)(7)`

A linken megtalálod az ábrát: https://www.geogebra.org/calculator/dtwbmrgq


b.)
`x^2+8x+y^2-10y-8=0` átírva a kör egyenletének alakjába `(x+4)^2+(y-5)^2=49`.

A kör középpontjának koordinátái tehát: `color(red)((-4;5))`

A kör sugara: `sqrt49=color(red)(7)`

A linken megtalálod az ábrát: https://www.geogebra.org/calculator/hdtdfgpj


2.)
A kör sugara: `r=(sqrt((b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2))/2=(sqrt((3-(-7))^2+(-8-4)^2))/2=sqrt61`

A kör középpontja: `((b_1+a_1)/2;(b_2+a_2)/2)=((3-7)/2;(4-8)/2)=(-2;-2)`

A kör egyenlete: `color(red)((x+2)^2+(y+2)^2=61)`

A linken megtalálod az ábrát: https://www.geogebra.org/calculator/hb6edywv



3.)
A kör középpontja: (2;3)

A kör középpontjának és az érintő pont koordinátáiból kiszámoljuk a normálvektort. Majd annak normálvektorát az egyenes alapegyenletébe behelyettesítve megkapjuk.

A normálvektor `vecn=(e_1-O_x;e_2-O_y)=(5-2;7-3)=(3;4)`

Az egyenes egyik alapegyenlete: `A*x+B*y=A*x_0+B*y_0`

`3x+4y=4*7+3*5`

Az érintő egyenes egyenlete tehát: `color(red)(3x+4y=43)`

A linken megtalálod az ábrát: https://www.geogebra.org/calculator/jj7jpstm



4.)
Könnyű dolgunk van, hiszen már rendezve van az egyenes egyenlete az egyik ismeretlenre és behelyettesítjük a kör egyenletébe. Így megkapva a két pont x koordinátákat majd ugyan ezt megtesszük a másik koordinátára is.

`(x-4)^2+(1/7x+5-2)^2=25`

`x^2-8x+16+1/49x^2+6/7x+9=25`

`50x^2-350x=0`
`x_(1,2) = (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)=(350+-sqrt((-350)^2-4*50*0))/(2*50)={(x_1=0) , (x_2 =7):}`

`y_1=1/7*x_1+5=1/7*0+5=5`

`y_2=1/7*x_2+5=1/7*7+5=6`

Tehát a kör és az egyenes metszéspontjainak koordinátái: `color(red)((x_1;y_1)=(0;5))` valamint `color(red)((x_2;y_2)=(7;6))`

A linken megtalálod az ábrát: https://www.geogebra.org/calculator/jbh3hqwe


A feladatot fehér színnel oldottam meg amennyiben megoldásnak jelölöd a válaszom elérhetővé teszem számodra a megoldást. Előre is köszönöm.