Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Segítség!!!!!
Lukács
kérdése
595
Egy mértani sorozat hányadosa 1-gyel kisebb a sozat első eleménél és van olyan pozitív egész n,amelyre a következő két feltétel egyidejüleg teljesül:
a:az első n elem szorzata 21,
b:az első elem és az n-edik elem szorzata 36.
Számítsa ki a sorozat első elemét,hányadosát,valamint az n értékét!
a:az első n elem szorzata 21,
b:az első elem és az n-edik elem szorzata 36.
Számítsa ki a sorozat első elemét,hányadosát,valamint az n értékét!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
válasza
Szerintem valamit elírtál ebben a feladatban.
A feladat állításai alapján a következő egyenletrendszert fogalmazhatjuk meg:
`a_1=q+1`
`a_1*a_1q*a_1q^2*...*a_1q^(n-1)=a_1^nq^(1+2+...+n-1)=a^nq^((n(n-1))/2)=21`
`a_1*a_1q^(n-1)=a_1^2q^(n-1)=36`
Vegyük az utolsó két egyenlet logaritmusát:
`nln|a_1|+(n(n-1))/2ln|q|=ln21`
`2ln|a_1|+(n-1)ln|q|=ln36`
Észre lehet venni, hogy az első egyenlet bal oldala a másodiknak `n/2`-szerese, tehát
`n/2*ln36=ln21`
`n=2*ln21/ln36~~1.7`
Tehát `n` nem egész szám. Szerintem valamelyik adat hibás, vagy esetleg az első 21 elem összegét kellene venni, nem a szorzatát.
---------------------------
Szerkesztés: Szerintem az a) feltételben szorzat helyett összeg van. Ekkor az egyenletrendszer:
`a_1=q+1`
`a_1(q^n-1)/(q-1)=21`
`a_1^2q^(n-1)=36`
A második egyenlet kicsit átalakítva:
`a_1q^n-a_1=21q-21`
A legelső tag a majdnem megegyezik a harmadik egyenlet bal oldalával, csak eggyel kevesebb `a_1` van és eggyel több `q`. Használjuk ezt ki:
`(36q)/a_1-a_1=21q-21`
Írjunk be `q` helyére `a_1-1`-et:
`(36a_1-36)/a_1-a_1=21a_1-42`
`36a_1-36-a_1^2=21a_1^2-42a_1`
`22a_1^2-78a_1+36=0`
`11a_1^2-39a_1+18=0`
Másodfokú egyenletet kaptunk, amelynek megoldásai a `6/11` és a `3`. Az egyenletek alapján visszaszámolható a többi változó. A `6/11`-hez nem tartozik megoldás, így az egyetlen ilyen sorozat: `a_1=3`, `q=2`, `n=3`.
A feladat állításai alapján a következő egyenletrendszert fogalmazhatjuk meg:
`a_1=q+1`
`a_1*a_1q*a_1q^2*...*a_1q^(n-1)=a_1^nq^(1+2+...+n-1)=a^nq^((n(n-1))/2)=21`
`a_1*a_1q^(n-1)=a_1^2q^(n-1)=36`
Vegyük az utolsó két egyenlet logaritmusát:
`nln|a_1|+(n(n-1))/2ln|q|=ln21`
`2ln|a_1|+(n-1)ln|q|=ln36`
Észre lehet venni, hogy az első egyenlet bal oldala a másodiknak `n/2`-szerese, tehát
`n/2*ln36=ln21`
`n=2*ln21/ln36~~1.7`
Tehát `n` nem egész szám. Szerintem valamelyik adat hibás, vagy esetleg az első 21 elem összegét kellene venni, nem a szorzatát.
---------------------------
Szerkesztés: Szerintem az a) feltételben szorzat helyett összeg van. Ekkor az egyenletrendszer:
`a_1=q+1`
`a_1(q^n-1)/(q-1)=21`
`a_1^2q^(n-1)=36`
A második egyenlet kicsit átalakítva:
`a_1q^n-a_1=21q-21`
A legelső tag a majdnem megegyezik a harmadik egyenlet bal oldalával, csak eggyel kevesebb `a_1` van és eggyel több `q`. Használjuk ezt ki:
`(36q)/a_1-a_1=21q-21`
Írjunk be `q` helyére `a_1-1`-et:
`(36a_1-36)/a_1-a_1=21a_1-42`
`36a_1-36-a_1^2=21a_1^2-42a_1`
`22a_1^2-78a_1+36=0`
`11a_1^2-39a_1+18=0`
Másodfokú egyenletet kaptunk, amelynek megoldásai a `6/11` és a `3`. Az egyenletek alapján visszaszámolható a többi változó. A `6/11`-hez nem tartozik megoldás, így az egyetlen ilyen sorozat: `a_1=3`, `q=2`, `n=3`.
Módosítva: 8 éve
0
- Még nem érkezett komment!