Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Másodfokú egyenlet megoldás valós számok halmazán
borosbianka158
kérdése
439
Sziasztok! Ebben a feladatban a g, megoldásában kérném a segítségeteket. Nagyon fontos és sürgős lenne.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
másodfokú
másodfokú
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Törölt
{ Matematikus }
válasza
A helyes válasz így nézne ki:
A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért a kikötések:
3x+1>=0 --> x>=-(1/3)
x-1>=0 --> x>=1
5x-1>=0 --> x>=-(1/5)
Összességében: x>=1
Most tényleg négyzetre kell emelni, de nem úgy, ahogy az az előző válaszban történt, hanem az (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 azonosság szerint. Mivel mind a két oldal biztosan nemnegatív, nem fogunk hamis megoldásokat kapni, bátran négyzetre emelhetünk.
(√ 3x+1 +√ x-1 )2=(√ 5x-1 )2
3x+1 + 2*√ 3x+1 *√ x-1 + x-1 = 5x-1
Most rendezzük egy oldalra a gyökös részt, és egy négyzetreemeléssel el lehet tüntetni.
2*√ 3x+1 *√ x-1 =x-1
Most kéne négyzetre emelni, de ha megnézed az egyenletet, látszik, hogy a bal oldal biztosan nemnegatív, de ezt nem mondhatjuk el a jobbról. Viszont a négyzetreemelés után a jobboldal is pozitívvá válik, ezért olyan megoldásokat kaphatunk, amik nem feltétlenül teljesülnek. Valószínűleg a tanárotok azt mondta, hogy ilyen esetekben mindig ellenőrizni kell a megoldásaidat. (Hát ezért.) Viszont ha már így kiszúrtuk, ki is köthetjük, hogy legyen x-1>=0, azaz x>=1. Most éppen szerencsénk van, mert ez a kikötés pont az, amit már megtettünk korábban is, de ez nem feltétlenül van mindig így. Most már láttuk a veszélyeket, és elvégezhetjük a négyzetre emelést.
4*(3x+1)*(x-1)=(x-1)^2
Mindkét oldalon megtalálható az x-1 mint szorzótényező, mi lenne ha leosztanánk vele? (A másik megoldás, hogy csak megoldod a másodfokú egyenletet) Ezzel baj lehet, ha x=1, mert akkor 0-val osztanánk. Próbáljuk ki az x=1-et osztás előtt, és azt látjuk, hogy akkor mind a két oldal 0, tehát ez egy jó megoldás. Ezután mondhatjuk azt, hogy megjegyeztük, hogy az x=1 lehet megoldás, nézzük meg a többit, azaz kössük ki, hogy innentől x!=1.
4*(3x+1)=(x-1)
12x+4=x-1
11x=-5
x=-5/11
Nézzük meg, hogy megfelel-e a kikötésnek: nem teljesül, hogy x>=1, ezért ez nem egy jó megoldás.
Az egyetlen megoldás tehát az x=1, amit az előző válaszoló is megtalált, de azért remélem, hogy sikerült érzékéltetnem, hogy az egy nagyon elvi hibás megoldás, és nagyon sok szerencséje volt, hogy kijött a jó megoldás, ne tanulj tőle.
A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért a kikötések:
3x+1>=0 --> x>=-(1/3)
x-1>=0 --> x>=1
5x-1>=0 --> x>=-(1/5)
Összességében: x>=1
Most tényleg négyzetre kell emelni, de nem úgy, ahogy az az előző válaszban történt, hanem az (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 azonosság szerint. Mivel mind a két oldal biztosan nemnegatív, nem fogunk hamis megoldásokat kapni, bátran négyzetre emelhetünk.
(√ 3x+1 +√ x-1 )2=(√ 5x-1 )2
3x+1 + 2*√ 3x+1 *√ x-1 + x-1 = 5x-1
Most rendezzük egy oldalra a gyökös részt, és egy négyzetreemeléssel el lehet tüntetni.
2*√ 3x+1 *√ x-1 =x-1
Most kéne négyzetre emelni, de ha megnézed az egyenletet, látszik, hogy a bal oldal biztosan nemnegatív, de ezt nem mondhatjuk el a jobbról. Viszont a négyzetreemelés után a jobboldal is pozitívvá válik, ezért olyan megoldásokat kaphatunk, amik nem feltétlenül teljesülnek. Valószínűleg a tanárotok azt mondta, hogy ilyen esetekben mindig ellenőrizni kell a megoldásaidat. (Hát ezért.) Viszont ha már így kiszúrtuk, ki is köthetjük, hogy legyen x-1>=0, azaz x>=1. Most éppen szerencsénk van, mert ez a kikötés pont az, amit már megtettünk korábban is, de ez nem feltétlenül van mindig így. Most már láttuk a veszélyeket, és elvégezhetjük a négyzetre emelést.
4*(3x+1)*(x-1)=(x-1)^2
Mindkét oldalon megtalálható az x-1 mint szorzótényező, mi lenne ha leosztanánk vele? (A másik megoldás, hogy csak megoldod a másodfokú egyenletet) Ezzel baj lehet, ha x=1, mert akkor 0-val osztanánk. Próbáljuk ki az x=1-et osztás előtt, és azt látjuk, hogy akkor mind a két oldal 0, tehát ez egy jó megoldás. Ezután mondhatjuk azt, hogy megjegyeztük, hogy az x=1 lehet megoldás, nézzük meg a többit, azaz kössük ki, hogy innentől x!=1.
4*(3x+1)=(x-1)
12x+4=x-1
11x=-5
x=-5/11
Nézzük meg, hogy megfelel-e a kikötésnek: nem teljesül, hogy x>=1, ezért ez nem egy jó megoldás.
Az egyetlen megoldás tehát az x=1, amit az előző válaszoló is megtalált, de azért remélem, hogy sikerült érzékéltetnem, hogy az egy nagyon elvi hibás megoldás, és nagyon sok szerencséje volt, hogy kijött a jó megoldás, ne tanulj tőle.
0
- Még nem érkezett komment!