Segítsetek kérlek! Matek

Próbáld szorzattá alakítani a kifejezést. Fog sikerülni, abból rájössz, hogy mikor lesz az 3 prím szorzata.

Ha elakadsz, szólj, de írd meg, meddig jutottál.

`3n^2-2n-8`
Szorzattá alakítani a legáltalánosabb megoldás az, ha először megkeressük a gyökeit.
A másodfokú kifejezés gyökei a megoldóképlettel ezek:
`n_(12)=(2+-sqrt(2^2-4·3·(-8)))/(2·3)=(1+-sqrt(25))/3`
`n_1=2`
`n_2=-4/3`

Ebből a szorzat alak egyszerűen felírható: `3(n-2)(n+4/3)`
(azért kellett 3-mal szorozni, mert a négyzetes tag együtthatója 3)
`=(n-2)(3n+4)`

Mivel természetes szám n-ek között keressük a megoldást, tehát n nem negatív, ezért a kisebbik tényező az `n-2`, a nagyobbik a `3n+4`.

Ha ez egy `p` prímszám köbe, akkor a szorzattá alakított alakjában benne kell lennie a `p` prímnek három szorzótényezőként is. Ez többféleképpen is lehet:

a) `n-2=1` és `3n+4=p^3`
Ennek a kettőnek a szorzata természetesen `p^3`.
Ekkor `n=3` és `p^3=3n+4=3·3+4=13`, de az nem köbszám, tehát ez nem megoldás.

b) `n-2=p` és `3n+4=p^2`
Ennek a kettőnek a szorzata is `p^3`.

Írjuk fel `p^2`-et kétféleképpen, ezek természetesen egyformák kell legyenek:
`(n-2)^2=3n+4`
Már csak meg kell oldani ezt a másodfokú egyenletet, kijön belőle két megoldás. Az egyik jó lesz (magyarul az az `n-2` tényleg prímszám lesz), a másik nem, mert negatív szám lenne a prím. (Nem részletezem, vezesd le.)

c) eset nincs, mert `p`-nek csak 1 és önmaga az osztója, ha prím.