Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Segítsetek kérlek! Matek
Lukács
kérdése
385
Milyen n természetes számok esetén lesz 3n2-2n-8 egy prímszám harmadik hatványa?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
bongolo{ }
válasza
Próbáld szorzattá alakítani a kifejezést. Fog sikerülni, abból rájössz, hogy mikor lesz az 3 prím szorzata.
Ha elakadsz, szólj, de írd meg, meddig jutottál.
1
Rantnad:
A tényezőkre bontásos megoldásra kíváncsi lennék, mivel nekem maximum addig halad a tudomány, hogy a szorzatalakból egyenletrendszert gyártok és azt oldom meg.
6 éve0
Lukács:
Nem jutok sehova... ha tudsz segíteni megköszönném!
6 éve0
bongolo:
Szorzattá alakítani tudtad?
6 éve0
bongolo{ }
válasza
`3n^2-2n-8`
Szorzattá alakítani a legáltalánosabb megoldás az, ha először megkeressük a gyökeit.
A másodfokú kifejezés gyökei a megoldóképlettel ezek:
`n_(12)=(2+-sqrt(2^2-4·3·(-8)))/(2·3)=(1+-sqrt(25))/3`
`n_1=2`
`n_2=-4/3`
Ebből a szorzat alak egyszerűen felírható: `3(n-2)(n+4/3)`
(azért kellett 3-mal szorozni, mert a négyzetes tag együtthatója 3)
`=(n-2)(3n+4)`
Mivel természetes szám n-ek között keressük a megoldást, tehát n nem negatív, ezért a kisebbik tényező az `n-2`, a nagyobbik a `3n+4`.
Ha ez egy `p` prímszám köbe, akkor a szorzattá alakított alakjában benne kell lennie a `p` prímnek három szorzótényezőként is. Ez többféleképpen is lehet:
a) `n-2=1` és `3n+4=p^3`
Ennek a kettőnek a szorzata természetesen `p^3`.
Ekkor `n=3` és `p^3=3n+4=3·3+4=13`, de az nem köbszám, tehát ez nem megoldás.
b) `n-2=p` és `3n+4=p^2`
Ennek a kettőnek a szorzata is `p^3`.
Írjuk fel `p^2`-et kétféleképpen, ezek természetesen egyformák kell legyenek:
`(n-2)^2=3n+4`
Már csak meg kell oldani ezt a másodfokú egyenletet, kijön belőle két megoldás. Az egyik jó lesz (magyarul az az `n-2` tényleg prímszám lesz), a másik nem, mert negatív szám lenne a prím. (Nem részletezem, vezesd le.)
c) eset nincs, mert `p`-nek csak 1 és önmaga az osztója, ha prím.