Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Egyenlet
Nagy István
kérdése
345
Hány darab olyan egész p érték van, amely esetén az
x2 + px + 2x – p – 2 = 0
egyenletnek legfeljebb egy valós gyöke van?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo{ }
megoldása
"Legfeljebb egy" azt jelenti, hogy 1 vagy 0.
`x^2 + (p+2)x + (-p-2) = 0`
Másodfokú egyenletnek akkor van 1 valós gyöke, ha a diszkrimináns nulla.
Akkor van nulla gyöke, ha a diszkrimináns negatív.
Vagyis `D ≤ 0` kell legyen.
A `D` diszkrimináns az, ami a megoldóképletben a gyök alatt van, vagyis `b^2-4ac`
Most:
`a=1`
`b=p+2`
`c=-p-2`
A diszkrimináns:
`D = b^2-4ac=(p+2)^2-4·1·(-p-2)`
`=p^2+4p+4 + 4p+8`
`=p^2+8p+12`
Ennek kell legfeljebb nullának lennie:
`p^2+8p+12 ≤ 0`
Ez is másodfokú , számoljuk ki a gyököket (vagyis azokat a `p`-ket, ahol éppen nulla lesz) a megoldóképlettel:
`p_(12)=(-8+-sqrt(8^2-4·12))/2`
`p_(12)=(-8+-sqrt(16))/2`
`p_1=-2`
`p_2=-6`
Mivel `p^2` együtthatója pozitív (pontosan 1), ezért a két gyök között lesz a parabola negatív:
`-6 ≤ p ≤ -2`
Ebben a tartományban ezek az egész értékek:
`-6, -5, -4, -3, -2`
Ez öt darab.