Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Sakk-körverseny
Nagy István
kérdése
318
Egy sakk-körversenyen csak mesterek és nagymesterek vettek részt. A mesterek száma 3-szor annyi volt, mint a nagymestereké, az együttes pontjaik száma pedig 1,2-szerese volt a nagymesterek pontszámai összegének. Melyik állítás igaz az alábbiak közül? (A győzelemért 1, a döntetlenért 0,5, a vereségért 0 pont jár.)
1. Ennyiből nem lehet megállapítani a résztvevők számát.
2. A verseny győztese lehet mester.
1. Ennyiből nem lehet megállapítani a résztvevők számát.
2. A verseny győztese lehet mester.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad
{ 
}
megoldása
Tegyük fel, hogy n nagymester volt, ekkor 3n mester, tehát összesen 4n-en versenyeztek. Összesen 4n*(4n-1)/2=8n²-2n játszmát játszottak le. Mindegy, hogy egy adott meccsnek mi lett a kimenetele, a kiosztott pontok száma mindig 2-vel nőtt, tehát 2*(8n²-2n)=16n²-4n pontot osztottak ki. A mesterek és a nagymesterek pontarányai 1,2:1, ha 5-tel bővítjük az arányt, akkor a 6:5 arányt kapjuk. Tehát ha a pontokat felosztjuk 11 egyenlő részre, majd beszorozzuk a hányadost 6-tal, akkor a mesterek által szerzett pontok számát kapjuk meg: 6*(16n²-4n)/11, ugyanezt ha 5-tel szorozzuk be, akkor a nagymesterek összpontszámát kapjuk meg: 5*(16n²-4n)/11. Azonban az is igaz, hogy a mesterek egymás között 3n*(3n-1) pontot gyűjtenek össze, vagyis legalább ennyinek kell lennie a megszerzett pontok számának, tehát:
6*(16n²-4n)/11 ≥ 3n*(3n-1), ennek a 0-t leszámítva 3 egész megoldása van; n={1;2;3}
Ugyanezt a számítást elvégezzük a nagymesterek pontjaira is:
5*(16n²-4n)/11 ≥ n*(n-1), ennek az összes természetes szám megoldása.
Tehát a lehetséges felállás: vagy 1, vagy 2, vagy 3 nagymester vett részt a tornán. Igen ám, de csak egész vagy ,5-re végződő pontszám lehetséges, így ha valamelyik létszámra nem ilyen megoldást kapunk, akkor az nem lehet;
n=1 esetén 6*(16*1²-4*1)/11=~6,54, ez nem lehet
n=2 esetén: 6*(16*2²-4*2)/11=~30,54, ez sem nyert
n=3-ra: 6*(16*3²-4*3)/11=72, ez már jó lesz. Ennek az 5/6-a szintén egész, 60, tehát a nagymesterek pontszáma is egész, tehát ez jó megoldás lesz, így a versenyen egyértelműen 3 nagymester és 9 mester vett részt.
2) n=3-ra a fenti egyenlőtlenség egyenlőséget ad, ami azt jelenti, hogy a mesterek csak egymás között gyűjtötték pontjaikat, vagyis minden mester vesztett a nagymesterek ellen. Azért nézzük meg, hátha nyerhetett mégis valamelyik mester; a legjobb eset az, hogy egyikük legyőzte a többit, vagyis 8*2=16 pontot szerzett. Akármelyik nagymestert nézzük, mindegyikük legyőzte az összes mestert, tehát mindegyikük leglább 2*9=18 ponttal rendelkezik, ez már alapból több, mint 16, tehát mester semmi szín alatt nem nyerhette meg a körveresenyt.
6*(16n²-4n)/11 ≥ 3n*(3n-1), ennek a 0-t leszámítva 3 egész megoldása van; n={1;2;3}
Ugyanezt a számítást elvégezzük a nagymesterek pontjaira is:
5*(16n²-4n)/11 ≥ n*(n-1), ennek az összes természetes szám megoldása.
Tehát a lehetséges felállás: vagy 1, vagy 2, vagy 3 nagymester vett részt a tornán. Igen ám, de csak egész vagy ,5-re végződő pontszám lehetséges, így ha valamelyik létszámra nem ilyen megoldást kapunk, akkor az nem lehet;
n=1 esetén 6*(16*1²-4*1)/11=~6,54, ez nem lehet
n=2 esetén: 6*(16*2²-4*2)/11=~30,54, ez sem nyert
n=3-ra: 6*(16*3²-4*3)/11=72, ez már jó lesz. Ennek az 5/6-a szintén egész, 60, tehát a nagymesterek pontszáma is egész, tehát ez jó megoldás lesz, így a versenyen egyértelműen 3 nagymester és 9 mester vett részt.
2) n=3-ra a fenti egyenlőtlenség egyenlőséget ad, ami azt jelenti, hogy a mesterek csak egymás között gyűjtötték pontjaikat, vagyis minden mester vesztett a nagymesterek ellen. Azért nézzük meg, hátha nyerhetett mégis valamelyik mester; a legjobb eset az, hogy egyikük legyőzte a többit, vagyis 8*2=16 pontot szerzett. Akármelyik nagymestert nézzük, mindegyikük legyőzte az összes mestert, tehát mindegyikük leglább 2*9=18 ponttal rendelkezik, ez már alapból több, mint 16, tehát mester semmi szín alatt nem nyerhette meg a körveresenyt.
1
- Még nem érkezett komment!