Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Számtani sorozatok - Valaki tudna segíteni?

Főoldal » Középiskola » Matematika
480
Két egymástól 119km távolságra lévő városból egy-egy kerékpáros indul egymástál szembe. Az első kerékpáros az első órában 20 km utat tesz meg és minden további órában 2 km-rel kevesebbet, mint az előzőben. A második kerékpáros , aki két órával később indul, mint az első, az első órában 10 lm utat tesz meg és minden további órában 3 km-rel többet, mint az előzőben. Mikor találkozik a két kerékpáros? Milyen messze van a találkozás helye a két várostól?

Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Hozzuk létre először az egyenleteket a két kerékpáros útjának leírásához.

Az első kerékpáros útját a következő módon írhatjuk le:
�
1
=
20
+
(
20
−
2
)
+
(
20
−
4
)
+
…
S
1
​
=20+(20−2)+(20−4)+…

A második kerékpáros útját a következő módon írhatjuk le:
�
2
=
10
+
(
10
+
3
)
+
(
10
+
3
+
3
)
+
…
S
2
​
=10+(10+3)+(10+3+3)+…

A találkozási időt jelölje
�
t, tehát a második kerékpáros 2 órával később indul, így az első kerékpáros
�
−
2
t−2 órája után. Az egyenlet az idő függvényében:

�
1
=
20
+
(
20
−
2
)
+
(
20
−
4
)
+
…
=
20
+
18
+
16
+
…
=
20
(
�
−
2
)
S
1
​
=20+(20−2)+(20−4)+…=20+18+16+…=20(t−2)

�
2
=
10
+
(
10
+
3
)
+
(
10
+
3
+
3
)
+
…
=
10
+
13
+
16
+
…
=
10
+
3
(
�
−
2
)
S
2
​
=10+(10+3)+(10+3+3)+…=10+13+16+…=10+3(t−2)

Most hozzuk létre az egyenletet a találkozási hely kiszámításához. Mivel a távolság a két város között 119 km, és a két kerékpáros egymástól szembe indul, a távolság, amit mindketten megtesznek, összeadódik:

�
1
+
�
2
=
119
S
1
​
+S
2
​
=119

20
(
�
−
2
)
+
10
+
3
(
�
−
2
)
=
119
20(t−2)+10+3(t−2)=119

Most oldjuk meg az egyenletet:

20
�
−
40
+
10
+
3
�
−
6
=
119
20t−40+10+3t−6=119

23
�
−
26
=
119
23t−26=119

23
�
=
145
23t=145

�
=
145
23
=
5
t=
23
145
​
=5

Tehát a két kerékpáros 5 óra múlva találkozik. Most helyettesítsük ezt vissza a távolság egyenletbe:

�
1
=
20
(
�
−
2
)
=
20
(
5
−
2
)
=
60
S
1
​
=20(t−2)=20(5−2)=60

Tehát a találkozás helye 60 km-re van az egyik várostól. Mivel a másik város 119 km-re van, a találkozás helye 119 - 60 = 59 km-re van a másik várostól. Tehát a két kerékpáros 59 km-re találkozik a második várostól.
-2


Az első már megtett 20+18 = 38 km-t, mire mindketten mennek, így a 3. órában megtesznek még 16+10 km, lement már 64 km. A következő órában 14+17 = 27 km-t, 4 óra alatt volt 91 km. Következőnél 12+16 = 28 km, és meg is lett a 119 km; `color(red)("5 óra")` a helyes megoldás, leellenőrizzük számtani sorozattal.

Az első megtesz összesen:

`S_(x1)` = `(a_1+a_x)*x/2` km-t, ami `(20+20+(x-1)*(-2))*x/2`

A másik pedig:

`S_(x2)` = `(b_1+b_(x-2))*(x-2)/2` km-t ; ez pedig `(10+10+(x-3)*3)*x/2`

Ez összesen 119 km.

`[(20+20+(x-1)*(-2))]*x/2+[(10+10+(x-3)*3)]*(x-2)/2=119`

`x*(42-2x)+(x-2)*(11+3x)=238`

`x^2+47x-260=0`

`x_(1,2)=(-47 pm root()(47^2+4*260))/2` = `(-47 pm 57)/2`

`x_1` = -52 nyilván nem lehet

`x_2` = 5 óra lesz nekünk a jó.

Hol lesznek 5 óra múlva?

`20+18+16+14+12` = 80 km-t tett meg az első kerékpáros

10+13+16 = 39 km-t pedig a másik.
2