Nem maradtak le véletlenül a zárójelek? Biztos azt akartad írni, hogy: x² - x + (1 /x) + 2? Ennek így nincsen megoldása, ez nem egy egyenlet

Kapcsolódva az előző kérdéseidhez van egy sejtésem, hogy ez ÉT illetve ÉK meghatározás lesz, ahol a függvény `f: x mapsto frac{x^2-x+1}{x+2}` lenne, csak elfelejtetted a zárójeleket tisztességesen leírni. Még a `g: x mapsto x^2-x+1/x+2` függvény is lehetne.
Kezdjük a könnyebb esettel:
`D(f)={x| x in RR wedge x ne -2}`,
`D(g)={x| x in RR wedge x ne 0}`.

`R(f)=R\\]-2sqrt(7)-5; 2sqrt(7)-5[`, itt bizonyítani fogjuk, hogy két szélsőértéke is van a függvénynek. A szakadási hely előtt növekszik, majd csökken az f(x) függvény. Majd a végtelen szakadási hely után csökken, majd növekszik az `f(x)` függvény. Mivel a felsőoktatásnál jelent meg a feladat, használni fogunk néhány alapvető analízis tételt. Ha deriválunk, akkor abból következtetni tudunk a szélsőértékek helyeire és a függvény menetére is. Tehát keressük a derivált `f'(x)=frac{x^2+4x-3}{(x+2)^2}` függvény zérushelyeit. Meg kell oldani a számlálóbeli
másodfokú függvény zérushelyeit. Ekkor `x_1=-sqrt(7)-2` és `x_2=sqrt(7)-2` értékekhez jutunk.
`(x_1<-2<x_2)` Az is látható, hogy a zérushelyek által meghatározott nyílt intervallumon negatív, míg azon kívül nemnegatív a másodfokú függvényünk és vele együtt az `f'(x)` derivált függvényünk is. Ha a szélsőérték helyeken behelyettesítünk az `f(x)` függvénybe akkor kapjuk `y_1=f(x_1)=-2*sqrt(7)-5` ill. `y_2=f(x_2)=2*sqrt(7)-5` értékeket. Nyilvánvaló, hogy `y_1<y_2`.
Az is nyilvánvaló, hogy `f(x)` függvény a `-2` környezetében nem folytonos. Ha behelyettesítünk, akkor a `7/0` értelmezhetetlen és határozatlan alakhoz jutnánk. De ennek meg akkor vesszük hasznát, ha kiszámítjuk a `lim_(x->-2-0) f(x)=-oo` és `lim_(x->-2+0) f(x)=oo` határértékeket. Ezek után kijelenthetjük, hogy az `f(x)` függvény `]-oo; x_1[` intervallumon monoton növekszik, `]x_1; -2[` intervallumon monoton csökken, tehát `x_1` helyen lokális maximuma van a függvényünknek. Ugyanígy `x_2` helyen lokális minimuma van az `f(x)` függvénynek. `y_1<y_2` egyenlőtlenséget felhaználva kijelenthetjük, hogy ez az intervallum hiányozni fog az értékkészletből.

`R(g)=RR`. A befejezésnél annak ellenére, hogy végtelen szakadása van a `g(x)` függvénynek, bizonyítani fogjuk, hogy minden értéket felvehet. A felső fél síkon "három ága" is van a `g(x)` függvénynek. Itt is keressük a derivált `g'(x)=frac{(x-1)(2x^2+x+1)}{x^2}` függvény zérushelyeit.
A számlálóban található másodfokú kifejezés diszkriminánsa `D=-7` negatív. Ebből következik, hogy a derivált függvénynek egyetlen zérushelye a `xi_1=1`. Ugyanennek a kifejezés másodfokú tagjának az együtthatója pozitív volta miatt a `x>1` esetén `g(x)` függvény monoton növekszik.
A g(x) függvénynek szakadási helye a `xi_0=0`, `lim_(x->0-0) f(x)=-oo` és `lim_(x->0+0) f(x)=oo` határértékekkel. A `]0; 1[` intervallumon `x<1` és a derivált g'(x) negatív így a g(x) monoton csökken. Tehát `xi_1=1` lokális minimum helye a g(x) függvénynek `g(1)=3` értékkel. Megvizsgálva a `]-oo; 0[` intervallumot megállapítható, hogy egyrészt `lim_(x->-oo) g(x)=oo`, másrészt itt is teljesül az `x<1` feltétel és `g'(x)<0` esetén itt is monoton csökken a g(x) függvény mégpedig `-oo`-től `oo`-ig minden értéket felvesz. A `g(x)` függvénynek zérushelye is van a `z approx -0,3926...` közelítő értékkel.