Matek

Koordináta-geometriával:

Mozgassuk úgy a koordináta-rendszert, hogy a `B` pont legyen az origóban, és az `A` pont legyen a `(3; ­­­­­­­­­­­­0)` helyen (az x tengelyen). A `C` pont bárhol lehet, nevezzük `(3c_x; 3c_y)`-nek a koordinátáit. (Azért jöttek be ezek a 3-as szorzók, hogy a harmadolópontoknál ne legyen tört... nem muszáj így csinálni, de nekem ez most szimpatikusabb.)

Rajzold fel őket a koordináta-rendszerben.

A harmadolópontok ezek lesznek:
`K(2; ­­­­­­0)`
`L(c_x; c_y)`

Az `AL` egyenes egyenlete:
irányvektor: `(c_x-3;c_y)`, normálvektor: `(c_y;3-c_x)`, az `A` ponton megy át:
`c_y·x+(3-c_x)·y=c_y·3`

A `CK` egyenes egyenlete:
irányvektor: `(3c_x-2;3c_y)`, normálvektor: `(3c_y;2-3c_x)`, a `K` ponton megy át:
`3c_y·x+(2-3c_x)·y=3c_y·2`

A két egyenes metszéspontja: meg kell oldani az egyenletrendszert:
Elsőből: `c_y·x=c_y·3-(3-c_x)·y`
Ezt másodikba: `3(c_y·3-(3-c_x)·y)+(2-3c_x)·y=3c_y·2`
`9c_y-(9-3c_x)·y+(2-3c_x)·y=6c_y`
`3c_y-7y=0`
`y=(3c_y)/7`

Az x-et nem is muszáj kiszámolni, már ebből is egyértelmű, hogy `1/7`-eli a `Q` pont a `CK` szakaszt és `3/7`-eli az `AL` szakaszt.

Mivel hetedeli a `CK` szakaszt, ezért az `AB`-hez tartozó magasságot is hetedeli, ezért az `AQB` háromszög területe hetede az `ABC`-nek.
Mivel az `AQ` szakasz `3/7`-e az `AL`-nek, ezért `QL=4/7AL`, vagyis a `BC`-hez tartozó magasságnak is `4/7`-e a `BCQ` magassága, így területe is.