Nem tudom, mit tanultok éppen, koordináta-geometriával oldom meg.

Mivel a vektorok egységvektorok, tehát egyforma hosszúak, az O pont éppen a háromszög köré írt kör középpontja. A kör sugara pedig 1.

Legyen az O pont az origó, az A pont pedig az (1; 0) pont. B valamint C az egységkörön vannak.

Rajzolj egy ilyen egységkört a háromszöggel...

Mivel az O pont a háromszögön kívül van, ezért az OA egyenes (vagyis az x tengely) nem metszi a háromszöget, vagyis a BC egyenest, tehát B és C ugyanazon a félsíkon vannak. Tehát az y koordinátájuk mindkettőnek pozitív vagy mindkettőnek negatív.

Tehát a pontok ilyenek:
`A(1; 0), B(b_x; b_y), C(c_x; c_y)`

Az egységkörön vannak, tehát:
`b_x^2+b_y^2=1`
`c_x^2+c_y^2=1`
és tudjuk még, hogy `b_y·c_y >= 0`

Nézzük most a `bar v = bar (OA)+bar(OB)+bar(OC)` vektort. Ennek koordinátái:
`v_x = 1+b_x+c_x`
`v_y=0+b_y+c_y`
A hosszának a négyzete pedig:
`|bar v|^2=(1+b_x+c_x)^2+(b_y+c_y)^2`
`=(1+b_x^2+c_x^2+2b_xc_x+2b_x+2c_x)+(b_y^2+c_y^2+2b_yc_y)`
kicsit átrendezve:
`=1+(b_x^2+b_y^2)+(c_x^2+c_y^2)+2(b_xc_x+b_yc_y+b_x+c_x)`
`=1+1+1+2(b_x(c_x+1)+c_x+b_yc_y)`
`=1+2(b_x(c_x+1)+c_x+1+b_yc_y)`
`=1+2((b_x+1)(c_x+1)+b_yc_y)`

Mivel a körön vannak, `b_x >= -1` és `c_x >= -1`, vagyis a 2-vel szorzott kifejezés pozitív.
Kész.