Matek

Az odafelé irány egyszerű:
Ha derékszögű, akkor `α=90-β`, tehát `sin α = sin(90°-β)= cos β`. Ugyanez fordítva is igaz: `sin β = cos α`, tehát egyértelműen igaz az összefüggés.

A másik irány bonyolultabb. Azt kell bizonyítani, hogy ha igaz az összefüggés, akkor `γ=90°`.

Tegyük fel, hogy `γ=90°+x`. (`x` lehet negatív is...)
`α + β + 90°+x = 180°`
`α + β + x = 90°`
`α = 90° - (β+x) → sin α = cos(β+x)`
`β = 90° - (α+x) → sin β = cos(α+x)`
tehát:
`sin\ α + sin\ β = cos(β+x) + cos(α+x)`
`sin\ α + sin\ β = cos\ β · cos\ x - sin\ β · sin\ x + cos\ α · cos\ x - sin\ α · sin\ x`
`sin\ α + sin\ β = cos\ x · (cos\ α + cos\ β) - sin\ x · (sin\ α + sin\ β)`
`(sin α + sin β)(1+sin\ x) = cos\ x · (cos α + cos β)`
`sin\ α + sin\ β = (cos\ α + cos\ β) · (cos\ x)/(1+sin\ x)`

Mivel tudjuk, hogy az összefüggés igaz, ezért az utolsó tört kifejezés 1 kell legyen:
`(cos\ x)/(1+sin\ x)=1`
`cos\ x = 1+sin\ x`
`cos\ x - sin\ x = 1`

Tudjuk, hogy `sin(x+45°)= cos\ x·sin\ 45°-sin\ x·cos\ 45°=(cos\ x-sin\ x)/sqrt2`
Tehát a bal oldal ennek a `sqrt2`-szöröse:
`sqrt2·sin(x+45°)=1`
fejezd be a bizonyítást, innen már könnyű.