Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek
kkrisztina98
kérdése
304
Csatoltam képet.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo{ }
válasza
Az odafelé irány egyszerű:
Ha derékszögű, akkor `α=90-β`, tehát `sin α = sin(90°-β)= cos β`. Ugyanez fordítva is igaz: `sin β = cos α`, tehát egyértelműen igaz az összefüggés.
A másik irány bonyolultabb. Azt kell bizonyítani, hogy ha igaz az összefüggés, akkor `γ=90°`.
Tegyük fel, hogy `γ=90°+x`. (`x` lehet negatív is...)
`α + β + 90°+x = 180°`
`α + β + x = 90°`
`α = 90° - (β+x) → sin α = cos(β+x)`
`β = 90° - (α+x) → sin β = cos(α+x)`
tehát:
`sin\ α + sin\ β = cos(β+x) + cos(α+x)`
`sin\ α + sin\ β = cos\ β · cos\ x - sin\ β · sin\ x + cos\ α · cos\ x - sin\ α · sin\ x`
`sin\ α + sin\ β = cos\ x · (cos\ α + cos\ β) - sin\ x · (sin\ α + sin\ β)`
`(sin α + sin β)(1+sin\ x) = cos\ x · (cos α + cos β)`
`sin\ α + sin\ β = (cos\ α + cos\ β) · (cos\ x)/(1+sin\ x)`
Mivel tudjuk, hogy az összefüggés igaz, ezért az utolsó tört kifejezés 1 kell legyen:
`(cos\ x)/(1+sin\ x)=1`
`cos\ x = 1+sin\ x`
`cos\ x - sin\ x = 1`
Tudjuk, hogy `sin(x+45°)= cos\ x·sin\ 45°-sin\ x·cos\ 45°=(cos\ x-sin\ x)/sqrt2`
Tehát a bal oldal ennek a `sqrt2`-szöröse:
`sqrt2·sin(x+45°)=1`
fejezd be a bizonyítást, innen már könnyű.