Analizis

`(d/dx)^nfrac{x^3}{(x-1)^2}=frac{n!(3x+n-2)(-1)^n}{(x-1)^(n+2)}`, ha `n ge 2`
Úgy tudod bebizonyítani, hogy először levezeted `n=1, 2, 3` és `4`-re, majd teljes indukció elvét alkalmava befejezed.

A hányados függvény deriválási szabályát alkalmazva jön ki az `f'(x)=frac{x^2·(x - 3)}{(x - 1)^3}`, majd innen `f''(x)=frac{6·x}{(x - 1)^4}`. Tovább deriválva `f'''(x)=frac{6·(3·x + 1)}{(1 - x)^5}`. Kis számolással belátható, hogy `n=2` és `n=3`-ra teljesül az állítás. Ennyi indulásnak elégséges is. Tegyük fel, hogy `(n-1)`-re teljesül az álítás, ebből kell kövekeztetni, hogy `(n)`-re is teljesülni fog az állítás. `f^(n-1)(x)=frac{(n-1)!(3x+n-3)(-1)^(n-1)}{(x-1)^(n+1)`. Utóbbi függvényre a hányados függvény deriválási szabályát újból alkalmazva épp a bizonyítandó kifejezéshez juttatja a hallgatót.