Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

N számok

422
Melyek azok az 1000-nél kisebb pozitív egész n számok, melyek négyzetének végződése éppen n?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Az egyjegyűek között 3 ilyen van: 1, 5 és 6. Többjegyű szám négyzete ugyanarra a számjegyre végződik, mint az utolsó jegyének a négyzete, tehát a két- és háromjegyű `n`-ek is csak 1-re, 5-re vagy 6-ra végződhetnek.

----------

Nézzük a kétjegyűeket. Az `bar (ab)` kétjegyű szám négyzete `(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2`. A `100a^2` tag nyilván nem szól bele az utolsó két számjegybe, tehát az kell, hogy `20ab+b^2` végződése `bar(ab)` legyen, miközben `b in {1, 5, 6}`.

Ha `b=1`, akkor `20a+1` végződése kell, hogy `bar(a1)` legyen. Ekkor vagy `20a+1=10a+1`, vagy `20a+1=10a+1+100`. Az előbbi egyenlet megoldása 0, az utóbbié 10, első számjegynek egyik sem jó, tehát itt nem találtunk megoldást.

Ha `b=5`, akkor `100a+25` végződése kell, hogy `bar(a5)` legyen. Ennek nyilvánvaló megoldása a 25.

Ha `b=6`, akkor `120a+36` végződése kell, hogy `bar(a6)` legyen. `100a`-t levonhatunk, az nem befolyásolja az utolsó két jegyet, tehát `20a+36` végződése kell, hogy `bar(a6)` legyen. Ekkor vagy `20a+36=10a+6`, vagy `20a+36=10a+6+100`. Az előbbi egyenlet megoldása negatív, az utóbbié viszont 7, ami jó is, tehát van egy újabb számunk, a 76.

----------

Nézzük a háromjegyűeket. A `bar (cab)` háromjegyű szám négyzete `(100c+10a+b)^2=10000c^2+2000ac+200bc+100a^2+20ab+b^2`. Ha ezt összehasonlítod az `bar(ab)` szám négyzetével, akkor láthatod, hogy 10-zel és 100-zal osztva ugyanazt a maradékot adják, tehát a háromjegyű szám négyzetének utolsó két számjegye megegyezik a kétjegyű szám négyzetének utolsó két számjegyével. Vagyis a háromjegyű számok között csak azok jöhetnek szóba, amelyek 25-re vagy 76-ra végződnek.

`bar(c25)^2=(100c+25)^2=10000c^2+5000c+625`. Ennek a végződése `c`-től függetlenül 625, tehát van még egy számunk, a 625.

`bar(c76)^2=(100c+76)^2=10000c^2+15200c+5776`. Levonva mindent, ami az utolsó három jegyet nem befolyásolja, azt látjuk, hogy `200c+776` végződésének kell `bar(c76)`-nak lennie. Ekkor vagy `200c+776=100c+76`, vagy `200c+776=100c+76+1000`. Az előbbi egyenlet megoldása negatív, az utóbbié viszont 3, ami jó is. Megoldás tehát a 376.

----------

Tehát az összes ilyen szám: 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625.
1