Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Segítsetek kérlek!
fekecsviktoria0424
kérdése
249
Egy középiskolának 500-nál több, de 600-nál kevesebb tanulója van. Ha a diákokat 9-esével állítjuk sorba, akkor 8 tanuló marad a végére. Ha 8-asával állnak, akkor 7 tanuló lesz az utolsó sorban. Ha 7 gyerek van egy sorban, akkor 6-an állnak hátul. Ha pedig 6-osával sorakoznak fel, akkor 5 tanuló lesz a sor végén. Hány diákja van a középiskolának?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
1
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Susceptibility
{ Fortélyos }
megoldása
Másképp átfogalmazva a feladatot, egy olyan számot keresünk, amely 9-el való osztási maradéka 8, 8-al való maradéka 7 stb.
Vegyük észre, hogy az osztási maradékok épp 1-el kisebbek, mint az osztók.
Ha `m|d`, akkor `d equiv 0 text( (mod ) m)`, azaz az osztási maradék 0. Illetve igaz, hogy `d-1 equiv m-1 text( (mod ) m)` Például 25 osztható 5-el, maradéka így 0. `25 equiv 0 text( (mod ) m)` Viszont `24 equiv 4 text( (mod ) m)`
Ezt ismerve a keresett szám pontosan eggyel kisebb, mint egy 9-el, 8-al, 7-el, 6-al osztható szám. Mi az a szám, ami mind a négy számmal osztható? Hát a 4 szám legkisebb közös többszöröse.
Prímtényezős felbontása a 4 számnak: `3^2 * 2^3 * 7 * 2*3` a legkisebb közös többszörös pedig minden prím közül a legmagasabb hatványon állóak szorzatából adódik: LKKT: `3^2 * 2^3 * 7 = 504` Ez pont 500 és 600 közé esik. A szám, ami teljesíti az oszthatósági tulajdonságot így az `text(LKKT) - 1= 504 - 1 = 503`
Tehát 503 tanuló jár az iskolába.
Vegyük észre, hogy az osztási maradékok épp 1-el kisebbek, mint az osztók.
Ha `m|d`, akkor `d equiv 0 text( (mod ) m)`, azaz az osztási maradék 0. Illetve igaz, hogy `d-1 equiv m-1 text( (mod ) m)` Például 25 osztható 5-el, maradéka így 0. `25 equiv 0 text( (mod ) m)` Viszont `24 equiv 4 text( (mod ) m)`
Ezt ismerve a keresett szám pontosan eggyel kisebb, mint egy 9-el, 8-al, 7-el, 6-al osztható szám. Mi az a szám, ami mind a négy számmal osztható? Hát a 4 szám legkisebb közös többszöröse.
Prímtényezős felbontása a 4 számnak: `3^2 * 2^3 * 7 * 2*3` a legkisebb közös többszörös pedig minden prím közül a legmagasabb hatványon állóak szorzatából adódik: LKKT: `3^2 * 2^3 * 7 = 504` Ez pont 500 és 600 közé esik. A szám, ami teljesíti az oszthatósági tulajdonságot így az `text(LKKT) - 1= 504 - 1 = 503`
Tehát 503 tanuló jár az iskolába.
0
- Még nem érkezett komment!