Analízis

Ha megnézzük a törtet, akkor látható, hogy a végtelenben vett határértéke 33.333..., mivel a köbös tagok dominánsak. A határérték definíciója szerint, tudok egy olyan nagy n-et mondani, amikor onnantól az összes további sorozatbeli elem teljesíteni fogja ezt az egyenlőtlenséget.
` lim_{n->oo} (100n^3-n^2)/(3n^3+n) = 100/3=33.dot3 `
Ez egy egyenlőtlenség, aminek 3 tagja van, ezt hasonlóan a rendes egyenletekhez lehet rendezni:
` (100n^3-n^2)/(3n^3+n)`
`33.33 < (100n^3-n^2)/(3n^3+n) < 33.34`
`33.33(3n^3+n) < (100n^3-n^2) < 33.34 (3n^3+n)`
Osztva n-el mindkét oldalt (n > 0)
`33.33(3n^2+1) < (100n^2-n) < 33.34 (3n^2+1) `
Kivonom a bal oldalt az egyenlőtlenségből:
`0 < (100n^2-n)-33.33(3n^2+1) < 0.01 (3n^2+1) `
`0 < 0.01n^2-n-33.33 < 0.01 (3n^2+1) `
Majd szétszedem két egyenletre:
`0 < 0.01n^2-n-33.33` és
` 0.01n^2-n-33.33 < 0.01 (3n^2+1) `
Az első egyenletet megoldva adódik, hogy:
`ngt126.374` és `nlt-26.374`
A második egyenletet rendezve még:
`0lt0.02n^2+n+33.34` adódik, mely ránézésre láthatóan mindig teljesül.
Ez alapján `ngt126.37 => n ge 127 => N = 126, n in NN`