Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Érdekes matematikai bizonyítások (5. rész)
gyula205
kérdése
345
Bizonyítsd be a következő azonosságot, ahol `x,y,z in RR` tetszőlegesen van megválasztva:
`2*(x^9+y^9 +z^9)+(x^3+y^3 +z^3)^3=6(x*y*z)^3+3*(x^3+y^3 +z^3)(x^6+y^6 +z^6)`.
`2*(x^9+y^9 +z^9)+(x^3+y^3 +z^3)^3=6(x*y*z)^3+3*(x^3+y^3 +z^3)(x^6+y^6 +z^6)`.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
algebra, azonosság
algebra, azonosság
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
kormosmate2
megoldása
Az egyszerűség kedvéért vezessünk be új változókat: `x^3=a, y^3=b, z^3 = c`
Az egyenlet így a következő alakot veszi fel:
`2(a^3+b^3+c^3) + (a+b+c)^3 = 6abc + 3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)`
Viszgáljuk a jobb oldalt. Ha a két zárójelet összeszoroznánk, akkor olyan tagokat kapnánk, ahol vagy egy betű van a köbön vagy egy betű a négyzeten szorozva egy másik betűvel az első hatványon (mivel minden tag egy szorzatként áll elő, ahol mindkét zárójelből választunk egy-egy tagot). Az is látható, hogy minden tag különböző lesz, így ha elvégezzük a 3-al való szorzást is, akkor minden tag együtthatója 3. A köbös tagokat bontsuk fel egy kétszeres, és egy egyszeres tagra, előbbieket írjuk le külön: `2(a^3+b^3+c^3)`. Minden más megmaradó tag a jobb oldalon olyan, hogy a kitevők összege 3 (azaz harmadfokú), az egybetűs tagok együtthatója 1, a kétbetűs tagok együtthatója 3, az egyetlen hárombetűs tagé pedig 6. Figyelembe véve a polinomiális tételt `n=3`-ra, az együtthatókat ismétléses permutációkból kapjuk. Vizsgáljuk meg, hogy stimmelnek-e. A köbös tagok együtthatói `(3!)/(3!*0!*0!) = 1` ez jó, a kétbetűs tagok együtthatói: `(3!)/(2!*1!*0!)=3` ez is jó, végül a 3 betűs tag együtthatója: `(3!)/(1!*1!*1!) = 6` így ez is megfelel. Tehát a jobb oldalon az összes olyan tag a `2(a^3+b^3+c^3)`-n kívül egyenlő `(a+b+c)^3`-al. Ezzel beláttuk, hogy a jobb oldal egyenlő a bal oldalon álló kifejezéssel.
Az egyenlet így a következő alakot veszi fel:
`2(a^3+b^3+c^3) + (a+b+c)^3 = 6abc + 3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)`
Viszgáljuk a jobb oldalt. Ha a két zárójelet összeszoroznánk, akkor olyan tagokat kapnánk, ahol vagy egy betű van a köbön vagy egy betű a négyzeten szorozva egy másik betűvel az első hatványon (mivel minden tag egy szorzatként áll elő, ahol mindkét zárójelből választunk egy-egy tagot). Az is látható, hogy minden tag különböző lesz, így ha elvégezzük a 3-al való szorzást is, akkor minden tag együtthatója 3. A köbös tagokat bontsuk fel egy kétszeres, és egy egyszeres tagra, előbbieket írjuk le külön: `2(a^3+b^3+c^3)`. Minden más megmaradó tag a jobb oldalon olyan, hogy a kitevők összege 3 (azaz harmadfokú), az egybetűs tagok együtthatója 1, a kétbetűs tagok együtthatója 3, az egyetlen hárombetűs tagé pedig 6. Figyelembe véve a polinomiális tételt `n=3`-ra, az együtthatókat ismétléses permutációkból kapjuk. Vizsgáljuk meg, hogy stimmelnek-e. A köbös tagok együtthatói `(3!)/(3!*0!*0!) = 1` ez jó, a kétbetűs tagok együtthatói: `(3!)/(2!*1!*0!)=3` ez is jó, végül a 3 betűs tag együtthatója: `(3!)/(1!*1!*1!) = 6` így ez is megfelel. Tehát a jobb oldalon az összes olyan tag a `2(a^3+b^3+c^3)`-n kívül egyenlő `(a+b+c)^3`-al. Ezzel beláttuk, hogy a jobb oldal egyenlő a bal oldalon álló kifejezéssel.
0
- Még nem érkezett komment!