Matek

Legyen az alapél hossza x, ekkor az alaplap területe x²*√3/4 (a szabályos háromszög területképletéből). A palástot alkotó háromszögek területe így a feladat kiírása szerint x²*√3/4 * 2/3 = x²*√3/6. Szükségünk van az oldalháromszög alaphoz tartozó magasságára és a szárhosszára.

-a magasságot a területből tudjuk kiszámolni; ha a magasság m, akkor a háromszög terülte x*m/2, viszont tudjuk, hogy a területe x²*√3/6, ezért ezek egyenlőek:

x*m/2 = x²*√3/6, ezt m-re rendezve m = x*√3/3-at kapunk.

-a szárat onnan kapjuk meg, hogy a magasság a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja, ráadásul felezi az alapot is, tehát a derékszögű háromszög két befogója x/2 és x*√3/3. Ha az átfogó c, akkor Pitagorasz tétele szerint:

(x/2)² + (x*√3/3)² = c², ennek megoldása x*√ 7/12  = c, tehát ilyen hosszú az oldalél.

Most vágjuk el a gúlát az egyik oldalél és a vele szemközti oldalháromszög magassága mentén, ekkor a síkmetszet egy olyan háromszög lesz, melynek oldalai az előbb említett szakaszok, valamint az alapháromszög magassága, ami x*√3/2 hosszú (szintén a szabályos háromszögre vonatkozó képlet szerint). A x*√ 7/12  oldallal szemközti szög a kérdés, és mivel mindhárom oldal adott, ezért a koszinusztétellel tudunk számolni:

(x*√ 7/12 )² = (x*√3/3)² + (x*√3/2)² - 2*(x*√3/3)*(x*√3/2)*cos(γ)

Kibontogatás után x²-tel tudunk majd osztani, így az x mindenhonnan ki fog esni, így csak egy ismeretlenes lesz az egyenlet, amit már meg tudunk oldani. A vége ez lesz:

1/2 = cos(γ), ennek pedig tudjuk, hogy γ=60° a megoldása. Tehát az oldallapok 60°-os szöget zárnak be az alappal.