Matek

Legyen az első test K₁, ami egy T₁ alapsíkkal rendelkezik, ennek magassága legyen M₁, területét jelölje |T₁|, hasonlóan a másik test legyen K₂, ami T₂ alapsíkkal rendelkezik, ennek magassága M₂, területe |T₂|. A feladat szerint |T₁|=|T₂|.

Amikor elmetszük ezeket a testeket, akkor két részre osztjuk őket; egy kisebb gúlára és egy csonka gúlára. Jelöljük az első test esetén a gúlát k₁-gyel, alapját t₁-gyel, magasságát m₁-gyel, területét |t₁|-gyel, a másik testnél ugyanezek k₂, t₂, m₂ és |t₂|. Tudjuk, hogy a K₁ és k₁, valamint a K₂ és k₂ testek hasonlóak egymáshoz (ez a nagyítás tulajdonságaival könnyedén belátható), a hasonlóság mértéke pedig a magasságok hányadosa, vagyis m₁/M₁, ezt jelöljük λ₁-gyel, a másik test estén a m₂/M₂ hányadost λ₂-vel. Azt tudjuk, hogy az M₁ és M₂ magasságok azonos méretűek, és mivel az alaptól mérve ugyanabban a távolságban metszettük el a testet, ezért az m₁ és m₂ magasságok is megegyeznek, emiatt m₁/M₁ = m₂/M₂, vagyis λ₁ = λ₂.
Azt is tudjuk, hogy ha a hasonlóság mértéke λ, akkor a területek hasonlósága λ², vagyis |t₁|/|T₁| = λ₁² és |t₂|/|T₂| = λ₂², de mivel λ₁ = λ₂, ezért a hányadosok is egyenlőek, tehát |t₁|/|T₁| = |t₂|/|T₂|. Mivel |T₁| = |T₂|, ezeket jellöljük x-szel, tehát |t₁|/x = |t₂|/x, x-szel való szorzás után |t₁| = |t₂| egyenletet kapjuk, és ezt kellett bebizonyítanunk.