Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Érdekes matematikai bizonyítások (2. rész)
gyula205
kérdése
214
Bizonyítsátok be, hogy az `sin^2(x)+cos^2(y)=1` egyenlet egy olyan görbesereget határoz meg amelyek ortogonálisak egymásra. Pontosabban két párhuzamos egyenesekből álló görbesereg, amelyek távolsága állandó és` frac{sqrt(2)*pi}{2}` egységnyi.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
koordinátageometria, görbék
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
2
kormosmate2
megoldása
Az egyenletet megoldva, a megoldás a végén két egyenesseregként foglalható össze. Mivel a meredekségek szorzata -1, ezért bármelyk két ilyen egyenes merőleges egymásra. A megoldáshalmaz tehát tkp. az egész koordinátasíkra kiterjedő négyzetháló. A távolság számolásához keressünk két metszéspontot oly módon, hogy választunk az egyik egyenesseregből egyet, melyen két szomszédos metszéspont távolságát számítjuk ki. Válasszuk p-t 0-nak, q-t pedig 0-nak majd 1-nek, majd ezeknek az egyeneseknek kiszámítjuk a metszéspontjait. Végül a két pont távolságát az euklideszi képlettel számolva megkapjuk a kívánt értéket. Egy másik meggondolás lehet még, hogy tudjuk, hogy a hálóban egy-egy négyzet átlójának hossza éppen `pi`, ekkor pedig az oldal hossza, `pi/sqrt(2) = \sqrt(2)/2*pi`. Ezutóbbi csak később jutott már eszembe, így a papíron az első megoldás van.
0
Még nem érkezett komment!
gyula205
válasza
Te csak `p=0` és `q=0` beli `M_1` illetve `p=0` és `q=1` beli `M_2` metszéspontok távolságára látod be, hogy az `frac{sqrt(2)*pi}{2}`. A bizonyítás befejezéséhez hiányzik az általánosabbnak tűnő eset `p`-re és `q`-ra az `M` metszéspont illetve `p`-re és `q+r`-re a `M'` metszéspont távolságára kapható `|r|*frac{sqrt(2)*pi}{2}` alak, ahol `r in ZZ`. Ha ezt megcsinálod megoldásnak jelölöm a válaszodat.