Valaki segiteni?

a) `(3+4i)/(3-4i)+(3-4i)/(3+4i)`

Bővítsük mindkét törtet a nevező konjugáltjával:
`(3+4i)^2/((3-4i)(3+4i))+(3-4i)^2/((3+4i)(3-4i))`

Használjuk ki a nevezetes azonosságokat:
`(9+12i-16)/(9+16)+(9-12i-16)/(9+16)`

Egyszerűsítsünk:
`-7/25+12/25i-7/25-12/25i=-14/25`

Tehát tisztán valós a szám, így a valós része is nyilván `-14/25`.



b) `i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0`

Mivel `i^5=i` és `i^6=i^2` stb..., a dolog négyesével ismétlődik, vagyis ha az összegben az utolsó kitevő néggyel osztható, akkor az eredmény nulla. Az általunk vizsgált összegben az utolsó néggyel osztható kitevő a 96 volt, tehát `i+i^2+i^3+i^4+...+i^99``=``i^97+i^98+i^99``=``i-1-i=-1`, vagyis a képzetes rész 0. (A valós pedig -1.)

Ezt egyébként mindenféle számolás nélkül is el lehet képzelni, mivel `i` hatványozásakor a neki megfelelő vektor 90°-os lépésekben forog a komplex számsíkon. Négy egymást követő hatvány négy különböző irányba mutató vektort jelent, tehát összegük mindig nulla.