Trigonometris. Legkisebb és legnagyobb érték.

Az elsőt szorozzuk meg `sqrt(2)/2`-vel:

`sqrt(2)/2*[cos(2x)+sin(2x)]``=``cos(2x)*sqrt(2)/2+sin(2x)*sqrt(2)/2``=``cos(2x)*sin(pi/4)+sin(2x)*cos(pi/4)``=``sin(2x+pi/4)`

Ebből pedig az eredeti feladat:

`cos(2x)+sin(2x)``=``sin(2x+pi/4)/(sqrt(2)/2)``=``sqrt(2)sin(2x+pi/4)`

Aminek a szélsőértékei nyilvánvalóan `+-sqrt(2)`.


---------------------------------


A másodikhoz használjuk ki, hogy `cos(2x)=cos^2x-sin^2x=1-2sin^2x`:

`sin^2x-cos(2x)``=``sin^2x-(1-2sin^2x)``=``3sin^2x-1`

`0 ≤ sin^2x ≤ 1`, tehát `-1 ≤ 3sin^2x-1 ≤ 2`

Az elsőhöz kiegészítés: hogyan lehet rájönni a `sqrt(2)/2`-re:

(Amit leírok, az mindenféle esetre jó, ahol szinusz és koszinusz valahányszorosai vannak összeadva, nem csak a mostanira. Érdemes megjegyezni, nem túl bonyolult.)

Induljunk ki ebből az ismert összefüggésből:
`sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ`
Ezt szorozzuk be egy egyelőre ismeretlen `A`-val:
`A·sin(α+β)=A·sinα·cosβ+A·cosα·sinβ`

A jelenlegi feladathoz legyen `β=2x`:
`A·sin(α+2x)=A·sin\ α·cos(2x)+A·cos\ α·sin(2x)`
A jobb oldal ugyanaz lesz, mint a kívánt `cos(2x)+sin(2x)`, ha ezek teljesülnek:
(1) `A·sin\ α=1`
(2) `A·cos\ α=1`

Ha elosztjuk (1)-et (2)-vel, ez lesz:
`(sin\ α)/(cos\ α)=1`
`"tg"\ α=1`
Ami `α=45°` esetén teljesül.

Ezt visszahelyettesítjük (1)-be:
`A·sin\ 45°=1`
`A·1/sqrt(2)=1`
`A=sqrt(2)`

Vagyis ez jött ki:
`A·sin(α+2x)=cos(2x)+sin(2x)`
`cos(2x)+sin(2x)=sqrt(2)·sin(45°+2x)`

Aminek a maximuma `sqrt(2)`, a minimuma `-sqrt(2)`