Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Szabályos csonka gúla

822
Mekkora a négyoldalú szabályos csonka gúla térfogata és felszíne ha az alapél=10cm, oldalél=5cm és magasság=4cm?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, gúla, csonka, tér, geometria
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
A csonka gúla alapja egy négyzet, aminek oldalai 10 centisek. Ennek területe `T_1`=100 cm².
A felső lap is négyzet, annak alapélét nem ismerjük, legyen `x`.

Rajzold fel a csonka gúla metszetét, ami felezi a gúlát és párhuzamos az egyik alapéllel (merőleges egy másikra). Ez egy szimmetrikus trapéz lesz. Alsó alapja `a`=10 cm, felső alapja `x`, magassága `m`=4. Az oldalát (`b`) számoljuk ki:
Vetítsd le a felső alapot, vagyis x-et. Az alsó alapot szétvágja 3 részre: bal és jobb oldalon lesz egyformán `d=(10-x)/2`, középen `x`.
Fel lehet írni Pitagoraszt az egyik oldallal és a magassággal:
`b^2=d^2+m^2`

A csonka gúla oldala is szimmetrikus trapéz, aminek alsó alapja az alapél (`a`=10 centi), felső alapja `x`, oldala pedig az oldalél (`c`=5 centi). A magassága éppen az a `b`, amit az előbb felírtunk. Itt is vetítsd le az `x`-et az alapra, annak az egyik darabja is `d=(10-x)/2`. Ott is fel lehet írni Pitagoraszt:
`c^2=b^2+d^2 \ \ \ -> \ \ \ d^2=c^2-b^2`
Ezt írjuk be az előző Pitagoraszba:
`b^2=c^2-b^2+m^2`
`2b^2=c^2+m^2 = 25+16=41`
`b=sqrt((41)/2)`

Ez tehát az oldallap magassága. Most már a területet ki tudjuk számolni:
`T_o=b·(a+x)/2`
Mégsem tudjuk még kiszámolni, kell az `x` is... ahhoz először számoljuk ki `d` értékét:
`b^2=d^2+m^2 \ \ \ -> \ \ \(41)/2=d^2+16`
`d^2=9/2`
`d=3/sqrt(2)`
`d=(10-x)/2=3/sqrt(2)`
`10-x=3·sqrt(2)`
`x=10-3·sqrt(2)`

Most már `T_o` (egy oldallap területe) is kiszámolható, meg persze `T_2=x^2` vagyis a felső alaplap területe is, azokból a felszín megvan.

A csonka gúla térfogata pedig ezzel a képlettel megy:
`V=((T_1+sqrt(T_1·T_2)+T_2)·m)/3`
0