Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Szabályos csonka gúla

2396
Mekkora a négyoldalú szabályos csonka gúla térfogata és felszíne ha az alapél=10cm, oldalél=5cm és magasság=4cm?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, gúla, csonka, tér, geometria
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
A csonka gúla alapja egy négyzet, aminek oldalai 10 centisek. Ennek területe `T_1`=100 cm².
A felső lap is négyzet, annak alapélét nem ismerjük, legyen `x`.

Rajzold fel a csonka gúla metszetét, ami felezi a gúlát és párhuzamos az egyik alapéllel (merőleges egy másikra). Ez egy szimmetrikus trapéz lesz. Alsó alapja `a`=10 cm, felső alapja `x`, magassága `m`=4. Az oldalát (`b`) számoljuk ki:
Vetítsd le a felső alapot, vagyis x-et. Az alsó alapot szétvágja 3 részre: bal és jobb oldalon lesz egyformán `d=(10-x)/2`, középen `x`.
Fel lehet írni Pitagoraszt az egyik oldallal és a magassággal:
`b^2=d^2+m^2`

A csonka gúla oldala is szimmetrikus trapéz, aminek alsó alapja az alapél (`a`=10 centi), felső alapja `x`, oldala pedig az oldalél (`c`=5 centi). A magassága éppen az a `b`, amit az előbb felírtunk. Itt is vetítsd le az `x`-et az alapra, annak az egyik darabja is `d=(10-x)/2`. Ott is fel lehet írni Pitagoraszt:
`c^2=b^2+d^2 \ \ \ -> \ \ \ d^2=c^2-b^2`
Ezt írjuk be az előző Pitagoraszba:
`b^2=c^2-b^2+m^2`
`2b^2=c^2+m^2 = 25+16=41`
`b=sqrt((41)/2)`

Ez tehát az oldallap magassága. Most már a területet ki tudjuk számolni:
`T_o=b·(a+x)/2`
Mégsem tudjuk még kiszámolni, kell az `x` is... ahhoz először számoljuk ki `d` értékét:
`b^2=d^2+m^2 \ \ \ -> \ \ \(41)/2=d^2+16`
`d^2=9/2`
`d=3/sqrt(2)`
`d=(10-x)/2=3/sqrt(2)`
`10-x=3·sqrt(2)`
`x=10-3·sqrt(2)`

Most már `T_o` (egy oldallap területe) is kiszámolható, meg persze `T_2=x^2` vagyis a felső alaplap területe is, azokból a felszín megvan.

A csonka gúla térfogata pedig ezzel a képlettel megy:
`V=((T_1+sqrt(T_1·T_2)+T_2)·m)/3`
0