1)
`i^5=i·(i^2)^2=i`
`i^(19)=i·(i^2)^9=-i`
`(i^5+2)/(i^(19)+1)=(2+i)/(1-i)`
Bővítsük `(1+i)`-vel:
`=((2+i)(1+i)/(1^2-i^2)=(2+3i-1)/(2)=(1+3i)/2`

`(cosx+sinx)/(cosx-sinx)`
Bővítsük `(cosx+sinx)`-szel:
`=(cosx+sinx)^2/(cos^2x-sin^2x)=(sin^2x+2·sinx·cosx+cos^2x)/(cos2x)=(1+sin2x)/(cos2x)`

2)
A modulus tényleg az, vagyis a komplex szám "vektorának" a hossza. (Persze az nem vektor!) Kicsit elírtad azért a modulus képlete előtt a `z`-t, hiányzik belőle az i:
`z=x+y·i`
`|z|=sqrt(x^2+y^2)`
Az argumentum (vagy arkusz) a "vektor" szöge:
`"arg"\ z = φ = "arc tg"\ |y/x|` ilyesmi, csak kicsit variálni kell a síknegyeddel, hogy 0-tól 360°-ig jöjjön ki a `φ`.

a) `z=-1/2+sqrt3/2i`
`|z|=sqrt(1/4+3/4)=1`
`φ="arc tg"sqrt3=π/3`
de `z` a II. síknegyedben van (mert a valós rész negatív, a képzetes pozitív), ezért
`"arg"\ z = π-φ=(2π)/3`

b) Itt valamit elírtál... lehet, hogy így lenne igaziból:
`z=1·("cos"π/7+i·"sin"π/7")`
Erről minden számolás nélkül leolvasható, hogy `|z|=1` és `"arg"\ z=π/7`

c)
`z=(1-i)/(1+i)`
A nevezőt valóssá lehet alakítani, ha bővítjük a törtet a nevező konjugáltjával (vagyis (1-i)-vel... ami teljesen véletlenül most ugyanannyi, mint a számláló, de az ne zavarjon meg):
`z=(1-i)^2/(1-i^2)=(1-2i+i^2)/(1-(-1)) = (1-2i-1)/2=-i`
Ezt fejből is lehet (kell) tudni, hogy `|z|=1` és `"arg"\ z=(3π)/2`

d)
Ha hatványozni kell, azt már nagyon nem érdemes algebrai alakban csinálni, inkább a modulusokkal és az argumentumokkal jobb dolgozni:

`z_1=1+i`
`|z_1|=sqrt(1+1)=sqrt2`
`φ_1="arc tg"\ 1/1=π/4`
Ez egyben az argumentum is, mert az első síknegyedben van `z_1`.
Ennek a 8-adik hatványa:
`|z_1^8|=|z_1|^8=sqrt2^8=2^4=16`
`"arg"(z_1^8)=8·"arg"\ z_1=2π` ami ugyanaz, mint a 0.

`z_2=1-i·sqrt3`
`|z_2|=sqrt(1+3)=2`
`φ_2="arc tg"\ sqrt3/1=π/3`
Mivel `z_2` a negyedik síknegyedben van (az imaginárius negatív), az argumentum:
`"arg"\ z_2=2π-φ_2=(5π)/3`
Ennek a -6-odik hatványa:
`|z_2^(-6)|=|z_2|^(-6)=1/sqrt2^6=1/2^3=1/8`
`"arg"(z_2^(-6))=-6·"arg"\ z_2=-10π=-5·2π` vagyis ez is ugyanaz, mint a 0.

Ennek a kettőnek a szorzata kell:
`|z|=|z_1^8|·|z_2^(-6)|=16·1/8=2`
`"arg"\ z="arg"(z_1^8)+"arg"(z_2^(-6))=0`

Vagyis `z=2`.

3)
Az elsőt nem tudom elolvasni. Ilyennek látszik:
`lim_(n->∞)int_0^1 (dx)/(1+(1+x/n)n)`
de mi az az "`i n ∈ ℕ`", vagy valahol máshol van az `i`?

Ha így van:
`=lim_(n->∞) int_0^1(dx)/(1+n+x)`
ahol
`1/(n+(x+1)) < 1/n`, hisz `x >= 0`, tehát az integrál felső közelítő összege lehet egy `1/n` magas és 1 széles téglalap, aminek a területe `1/n`. Így a határérték ez:
`=lim_(n->∞) 1/n = 0`


A másodiknál:
Alfa akar lenni az az írott nagy L-betűnek kinéző dolog?
`lim_(α->∞) int_1^2 ("ln"(x+|α|))/("ln"(x^2+α^2)) dx`
(az abszolút értéknek nincs sok jelentősége, hisz α a plusz végtelenhez tart, pozitív)

A limeszt be lehet vinni az integrál belsejébe. Nézzük így az integrál belsejét (lehagytam az abszolút érték jelet, de ha kiírod, az se tesz semmi változást):
`lim_(α->∞)("ln"(x+α))/("ln"(x^2+α^2))`
`=lim_(α->∞)("ln"(x/α+1)+"ln"\ α)/("ln"((x/α)^2+1)+"ln"\ α^2)`
`x/α` határértéke 0, azok helyett be lehet írni a nullát. És persze `"ln"\ 1 = 0`, tehát ez lett a limesz:
`=lim_(α->∞)("ln"\ α)/("ln"\ α^2)=lim_(α->∞)("ln"\ α)/(2·"ln"\ α)=1/2`

Az integrál pedig:
`int_1^2 1/2 dx = 1/2·(2-1) = 1/2`