Hogy kell megkeresni a mátrix sajátértékeit és a hozzá tartozó sajátbektorait?

A mátrix sajátértékeit és hozzájuk tartozó sajátvektorokat a következő lépésekkel lehet megkeresni:

1. Először meg kell határozni az A mátrix karakterisztikus polinomját, amelyet az alábbi módon számolhatunk ki:

|A - λI| = 0

ahol A az adott mátrix, λ az ismeretlen sajátérték, és I az egységmátrix.

A mátrixunk A =
|-5 2|
|-9 6|

Az egységmátrix I =
|1 0|
|0 1|

2. Számoljuk ki a karakterisztikus polinomot:

|A - λI| = |-5-λ 2|
|-9 6-λ|

Az értéket nulla lesz:

(-5-λ)(6-λ) - (-9)(2) = 0

Ezt kibontva és rendezve:

λ^2 - λ - 12 = 0

3. Oldjuk meg a karakterisztikus polinomot λ-re:

(λ - 4)(λ + 3) = 0

Így a sajátértékek:

λ₁ = 4 és λ₂ = -3

4. Az egyes sajátértékekhez tartozó sajátvektorok meghatározásához helyettesítsük be az egyes értékeket az alábbi egyenletbe:

(A - λI)v = 0

ahol v az ismeretlen sajátvektor.

Sajátérték λ₁ = 4:
A - 4I =
|-5-4 2|
|-9 6-4|
|-9 2|

(A - 4I)v₁ = 0

|-9v₁ + 2v₂| = |0|
|-9v₁ + 2v₂| |0|

Ebből a rendszerből az egyik sajátvektor:
v₁ = [2, 9]

Sajátérték λ₂ = -3:
A + 3I =
|-5+3 2|
|-9 6+3|
|-2 9|

(A + 3I)v₂ = 0

|-2v₁ + 2v₂| = |0|
|-2v₁ + 9v₂| |0|

Ebből a rendszerből a másik sajátvektor:
v₂ = [1, 1]

Tehát a mátrix A sajátértékei: λ₁ = 4 és λ₂ = -3,
és a hozzájuk tartozó sajátvektorok: v₁ = [2, 9] és v₂ = [1, 1].