1) Hány olyan hatjegyű szám létezik, amelyben van két azonos számjegy?
Az ilyen hatjegyű számok kialakításánál először választhatjuk az azonos számjegyet, majd a megmaradt 5 helyre helyezhetjük a nem azonos számjegyeket.

Az azonos számjegyek kiválasztásához 10 lehetőségünk van (0-tól 9-ig), és a nem azonos számjegyeket a megmaradt helyekre 9 választásunk van (mivel az első helyre nem tehetünk 0-t).

Ezért a keresett számok száma: 10 * 9 * 5 * 4 * 3 * 2 = 7,200

2) Hányféleképpen lehet eljutni az origóból a (3;8) pontban, úgy, hogy csak egységnyi hosszú jobbra és fel lépések lehetnek?
A megadott célponthoz eljutni csak jobbra és fel lépésekkel lehetséges, és mindig pontosan 3 jobbra és 8 fel kell lépnünk.

Egy lehetséges sorrend a lépéseknek 11 lépésből áll, ahol 3 lépés a jobbra és 8 lépés a fel irányba. Egy adott sorrendben a jobbra lépések lehetnek bármelyik 3 pozícióban, a fel lépések pedig a megmaradt 8 pozícióban.

Ezért a keresett lépésszámot meghatározhatjuk a következő módon:

Választandó pozíciók a jobbra lépéseknek: C(11, 3) = 165
Választandó pozíciók a fel lépéseknek: C(11, 8) = 165

A lépések összes száma: 165 * 165 = 27,225

3) Egy 30 fős létszámú osztályban 9 azonos tollat sorsolnak ki. Hányféleképpen történhet a tollak szétosztása, ha egy tanuló több tollat is kaphat?

Ebben az esetben számításnál nem korlátozódik arra, hogy minden tanulónak különböző tollakat kell kapnia. Tehát az osztályban lévő tanulók számára úgy oszthatjuk szét a tollakat, hogy 9 darab olyan tanuló is lehet, aki több tollat kap.

A tollak szétosztásának számát meghatározhatjuk a következő módon:

A tollak szétosztása a tanulók között: 30^9 (minden tanuló 9 toll közül választhat)

Azaz a tollak 30^9-féleképpen oszthatók szét a tanulók között.