A megadott egyenletrendszer:

x + y + z = 0 (1)
x - 2y + 2z = 4 (2)
x + 2y - z = 2 (3)
2x - y + 3z = 4 (4)

Gauss-féle eliminációval megoldva a rendszert:

1. Először kivonjuk az (1)-et az (2) és (3)-ból, hogy megszabaduljunk az x változótól az együtthatók kifejezésében:

(2) - (1): -3y + z = 4 (5)
(3) - (1): y - z = 2 (6)

2. Most kivonjuk az (5)-öt az (6)-ból, hogy megszabaduljunk az y változótól az együtthatók kifejezésében:

(6) - (5): 4y = -2 (7)

3. Az (7) alapján megkapjuk az y értékét:

y = -2/4 = -1/2

4. Az (6) alapján most már kiszámíthatjuk a z értékét:

(-1/2) - z = 2
z = -2 - 1/2 = -5/2

5. Az (1) alapján megkapjuk az x értékét:

x + (-1/2) + (-5/2) = 0
x = 6/2 = 3

Így az egyenletrendszer megoldása: x = 3, y = -1/2, z = -5/2.