Vektorok

1.)
Először is meghatározzuk a szakaszok felezőpontjait, hiszen tudjuk, hogy a csúcsból húzott súlyvonal felezi a szakaszt. Nekünk a csúcs és a felező pont közötti szakasz hossza kell tehát:

`F_("AB")=((a_1+b_1)/2;(a_2+b_2)/2)=((1+7)/2;(-4+2)/2)=color(red)((4;-1))`

`F_("AC")=((a_1+c_1)/2;(a_2+c_2)/2)=((1+(-5))/2;(-4+(-2))/2)=color(red)((-2;-3))`

`F_("BC")=((b_1+c_1)/2;(b_2+c_2)/2)=((7-(-5))/2;(2+(-2))/2)=color(red)((1;0))`


Ezek ismeretében könnyedén kitudjuk számolni a súlyvonalak hosszát.


a oldal súlyvonala: `S_("a")=sqrt((a_1-F_("BC"_1))^2+(a_1-F_("BC"_2))^2)=sqrt((1-1)^2+(-4-0)^2)=color(red)(4 \ cm)`

b oldal súlyvonala: `S_("b")=sqrt((b_1-F_("AC"_1))^2+(b_1-F_("AC"_2))^2)=sqrt((7-(-2))^2+(2-(-3))^2)=color(red)(sqrt106 \ cm)`

c oldal súlyvonala: `S_("c")=sqrt((c_1-F_("AB"_1))^2+(c_1-F_("AB"_2))^2)=sqrt((-5-4)^2+(-2-(-1))^2)=color(red)(sqrt82 \ cm)`





2.)
Számoljuk ki a csúcsok közötti szakaszok hosszát.
`PQ=sqrt((q_1-p_1)^2+(q_1-p_2)^2)=sqrt((7-1)^2+(2-(-4))^2)=color(red)(sqrt72 \ cm)`

`RQ=sqrt((q_1-r_1)^2+(q_1-r_2)^2)=sqrt((7-(-5))^2+(2-(-2))^2)=color(red)(sqrt160 \ cm)`

`PR=sqrt((p_1-r_1)^2+(p_1-r_2)^2)=sqrt((1-(-5))^2+(-4-(-2))^2)=color(red)(sqrt40 \ cm)`


`"Kerület"=PQ+RQ+PR=sqrt72+sqrt160+sqrt40=color(red)(27,46 \ cm)`

P csúcsnál lévő szög nagysága: `cosRhatPQ=(RQ^2-(PQ^2+PR^2))/(-2*PQ*PR)=(sqrt160^2-(sqrt72^2+sqrt40))/(-2*sqrt72*sqrt40)=>color(red)(RhatPQ=116,57°)`

`"Terület"=(PR*PQ*sinRhatPQ)/2=(sqrt40*sqrt72*sin116,57°)/2=color(red)(24 \ cm^2)`

1. Feladat ábra.