Matek

A feladat analitikus úton oldható meg. Amikor deriválással látjuk be, hogy az adott különbség függvény monoton növekedő. Legyen ez a függvény `f(x):=ln(1+x)-frac{x}{(1+x)}`. Ekkor `f'(x)=frac{x}{(1+x)^2} ge 0`. Ha `x gt 0`, akkor `f(x)` növekedő függvény és `x=0` helyen `0`-át vesz fel, tehát `f(x)` nemnegatív. Ami a bizonyítandó állítást igazolja.

Mindenféleképpen felmerül a kérdés, hogy ez az állítás igazolható-e az analízis eszköztárának bevetése nélkül is? Ehhez pedig olyan egyenlőtlenségekre is szükségünk lehet, amely nem a természetes számokra épül. Én az előbb azt az útat próbáltam elhitetni a tisztelt hallgatósággal, hogy a már ismert egyenlőtlenségek nemcsak az `NN` számhalmazra, hanem az `RR` valós számokra is igazak. Ezt az útat senkinek sem ajánlom, mert hamis úton jutnánk igaz állításokhoz. Mindenesetre köszönet a feladat kiírójának, hogy megpróbálta egy kicsit magasabb színvonalra emelni az itt megjelenő kérdéseket!