Deriválás, érintők

Az érintők párhuzamosak az \(y = 2x\) egyenessel, akkor az érintő meredeksége azonos lesz \(2\) értékével. Ahhoz, hogy megtaláljuk az érintő egyenletét, először számítsuk ki az \(f(x)\) függvény deriváltját.

\[
f(x) = \frac{{x^2 - 2}}{{x + 1}}
\]

A deriváltat a hányados szabályával számolhatjuk ki:

\[
f'(x) = \frac{{(2x)(x + 1) - (x^2 - 2)(1)}}{{(x + 1)^2}}
\]

Egyszerűsítve:

\[
f'(x) = \frac{{2x^2 + 2x - x^2 + 2}}{{(x + 1)^2}}
= \frac{{x^2 + 2x + 2}}{{(x + 1)^2}}
\]

Az érintő meredeksége az \(f'(x)\) függvény értéke lesz. Tehát:

\[
f'(x) = 2
\]

\[
\frac{{x^2 + 2x + 2}}{{(x + 1)^2}} = 2
\]

\[
x^2 + 2x + 2 = 2(x + 1)^2
\]

\[
x^2 + 2x + 2 = 2(x^2 + 2x + 1)
\]

\[
x^2 + 2x + 2 = 2x^2 + 4x + 2
\]

\[
x^2 - 2x = 0
\]

\[
x(x - 2) = 0
\]

Ebből következik, hogy \(x = 0\) vagy \(x = 2\). Tehát az érintők helye az \(x = 0\) és az \(x = 2\) pontok lesznek a grafikonon.

Az érintő egyenletét meghatározhatjuk a pontokban az \(f(x)\) függvény értékeivel. Először számoljuk ki \(f(0)\)-t:

\[
f(0) = \frac{{0^2 - 2}}{{0 + 1}} = -2
\]

A második pontban számoljuk ki \(f(2)\)-t:

\[
f(2) = \frac{{2^2 - 2}}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}
\]

Tehát az érintők a \((0, -2)\) és a \((2, \frac{2}{3})\) pontokban érintik a grafikont.

Az érintő egyenlete a pont-szakaszformában felírva a következő lesz:

\[
y - y_0 = m(x - x_0)
\]

ahol \(m\) az érintő meredeksége, \(x_0\) és \(y_0\) pedig az érintőn áthaladó pont.
Az érintő egyenletét a \((0, -2)\) pontban így határozhatjuk meg:

\[y - y_0 = m(x - x_0)\]

Ahol \(m\) az érintő meredeksége, és \(x_0\) és \(y_0\) a pont koordinátái. Az adott feladatban azt keresjük, hogy az érintő párhuzamos az \(y = 2x\) egyenessel, vagyis az érintő meredeksége \(m = 2\). Tehát:

\[y + 2 = 2(x - 0)\]

Egyszerűsítve:

\[y + 2 = 2x\]

\[y = 2x - 2\]

Így az érintő egyenlete: \(y = 2x - 2\).

ISU is hasonló gondolatmenettel járhatott el. Ugyan nehezen olvasható ISU képletei a 7-es aposztrof jeleinek hiánya miatt. Én nem tartok igényt a megoldáshoz tartozó pontokért. Én csak olvashatóbbá teszem ISU képleteit.
Legyen tehát a függvény definíciója a következő: `f: RR\\{-1}->RR`, `f(x)=frac{x^2-2}{x+1}`.
`f': RR\\{-1}->RR`, `f'(x)=frac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}`.

A görbe érintőjének áltlános egyenlete a `P(xi; f(xi))` pontban: `y=f'(xi)*(x-xi)+f(xi)`
Azt kell megvizsgálni, hogy létezik-e olyan `(xi, eta)` (`xi, eta in RR`) páros, hogy
`f'(xi)*(x-xi)+f(xi)-2x-eta=0`. Először `(f'(xi)-2)x=0` esetet vizsgálva adódik, hogy
`frac{1}{(xi+1)^2}-1=0`, azaz `xi_1=-2` és `xi_2=0` lehetőségeket.
Azaz `xi=-2` esetén `2x+2` egyenes egyenletére jutunk, míg `xi=0` esetén `2x-2` egyenes egyenlete a megoldás. Értelemszerűen `eta_1=2` és `eta_2=-2` eseteire kell gondolni.