Igen, igazolható, hogy bármely páratlan fokszámú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Ehhez használhatjuk a Bolzano-tételt és a polinomok folytonosságát.

Tekintsünk egy páratlan fokszámú polinomot, például az n-edik fokú polinomot, ahol n páratlan. Az ilyen polinomok általános alakja:

P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_1 * x + a_0,

ahol a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 valós együtthatók, és a_n ≠ 0.

Először is vegyük észre, hogy ha az a_n együttható pozitív, akkor a polinom negatív értéket vesz fel a nagyon kicsi negatív x értékek esetén, és pozitív értéket vesz fel a nagyon nagy pozitív x értékek esetén. Ha az a_n együttható negatív, akkor pedig fordított a helyzet. Tehát a polinom szélsőértékei különböző előjellel rendelkeznek a valós számok tartományában.

Azonban a polinomok folytonosak, vagyis a valós számok tartományában a polinom egy folytonos görbét alkot. A Bolzano-tétel szerint, ha egy folytonos függvény értékei két különböző előjelűre váltanak egy tartományban, akkor létezik egy pont ezen a tartományon belül, ahol a függvény értéke nulla.

Mivel a fent említett polinom szélsőértékei különböző előjellel rendelkeznek, és a polinom folytonos, akkor a Bolzano-tétel alapján létezik olyan valós gyök, ahol a polinom értéke nulla.

Tehát, igazolható, hogy bármely páratlan fokszámú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke a fent leírt érvelés alapján.