Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Átlók

102
Egy 30 csúcsú konvex sokszöget egy két csúcsán áthaladó egyenessel levágtam egy
konvex sokszöget, így két konvex sokszöget kaptam. Ha összeszámolom a két konvex sokszög átlóinak a
számát, akkor az összeg 116-tal kevesebb, mint ahány átlója volt az eredeti sokszögnek. Hány oldalú
sokszöget vágtunk le?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Általános iskola / Matematika

Válaszok

1
Legyen n az eredeti sokszög oldalainak száma. Egy konvex sokszögnek n oldala van, és n átlója is, amelyeket az általános szabállyal, az "n * (n-3) / 2" képlettel számolhatunk ki.

Amikor egy két csúcsán áthaladó egyenessel levágjuk a sokszöget, két új konvex sokszöget kapunk. Legyen a levágás után az egyik sokszög oldalainak száma k és a másiké m.

Ebben az esetben a k sokszögnél az átlók száma az "k * (k-3) / 2" lesz, és a m sokszögnél az átlók száma pedig az "m * (m-3) / 2" lesz.

A feladatban adott, hogy a két levágott sokszög átlóinak összege 116-tal kevesebb, mint az eredeti sokszög átlóinak száma, tehát:

(k * (k-3) / 2) + (m * (m-3) / 2) = (n * (n-3) / 2) - 116

Mivel a sokszög oldalainak száma n, ezért a levágott sokszög oldalainak száma az eredeti oldalak számából levonva: k + m = n.

Most, hogy rendelkezünk a két egyenlettel, megoldhatjuk a rendszert.

Az egyenletekből a kifejezést kifejezhetjük a két ismeretlen mennyiség (k és m) függvényében:

k = n - m

Helyettesítsük be az első egyenletbe:

((n - m) * (n - m - 3) / 2) + (m * (m - 3) / 2) = (n * (n - 3) / 2) - 116

Egyszerűsítve és rendezve az egyenletet:

(n^2 - 7n + 6m + 6) + (m^2 - 3m) = n^2 - 3n - 232

n^2 - 7n + 6m + 6 + m^2 - 3m = n^2 - 3n - 232

n^2 - m^2 + 4n - 9m + 238 = 0

A feladatban adott, hogy a sokszög konvex, tehát az oldalak száma (n) legalább 3. Vegyük ezt figyelembe és nézzük meg a választási lehetőségeket:

1. Kezdjük az egyszerű esettel, ahol n = 3:

(3^2 - m^2) + 4 * 3 - 9m + 238 = 0

9 - m^2 + 12 - 9m + 238 = 0

-m^2 - 9m + 259 = 0

Ez a másodfokú egy

enlet nem ad egész megoldást, tehát az n = 3 nem lehet megoldás.

2. Most nézzük az n = 4 esetet:

(4^2 - m^2) + 4 * 4 - 9m + 238 = 0

16 - m^2 + 16 - 9m + 238 = 0

-m^2 - 9m + 270 = 0

Ez a másodfokú egyenlet nem ad egész megoldást, tehát az n = 4 sem lehet megoldás.

3. Tovább folytatva az n = 5 esettel:

(5^2 - m^2) + 4 * 5 - 9m + 238 = 0

25 - m^2 + 20 - 9m + 238 = 0

-m^2 - 9m + 283 = 0

Ez a másodfokú egyenlet nem ad egész megoldást, tehát az n = 5 sem lehet megoldás.

4. Nézzük az n = 6 esetet:

(6^2 - m^2) + 4 * 6 - 9m + 238 = 0

36 - m^2 + 24 - 9m + 238 = 0

-m^2 - 9m + 298 = 0

Ez a másodfokú egyenlet nem ad egész megoldást, tehát az n = 6 sem lehet megoldás.

5. Próbáljuk meg az n = 7 esetet:

(7^2 - m^2) + 4 * 7 - 9m + 238 = 0

49 - m^2 + 28 - 9m + 238 = 0

-m^2 - 9m + 315 = 0

Ez a másodfokú egyenlet nem ad egész megoldást, tehát az n = 7 sem lehet megoldás.

6. Végül, nézzük az n = 8 esetet:

(8^2 - m^2) + 4 * 8 - 9m + 238 = 0

64 - m^2 + 32 - 9m + 238 = 0

-m^2 - 9m + 334 = 0

Ez a másodfokú egyenlet megoldása: m = 1 és m = -334. Az m = -334 megoldás nem értelmezhető, mivel a sokszög oldalainak száma nem lehet negatív.

Tehát az n = 8 az egyetlen megoldás, ami azt jelenti, hogy egy 8 oldalú sokszöget vágtunk le.

0