Szia
1., A szám első jegye 9-féle lehet (0-val nem kezdődhet), az összes többi jegy pedig 10-
féle. Bármelyik jegy után bármelyik következhet, ez összesen 9x10 a 7-en
darab 8-jegyű szám.
a) Ha a szomszédos jegyeknek különböznie kell, akkor kezdjük a szám elejéről a jegyek kitöltését. Az első jegy most is 9-féle lehet, a második helyre már nem választhatjuk az elsőnek leírt
számjegyet (tehát csak 9 lehetőségünk van), a harmadik helyre nem választhatjuk a másodiknak
leírt számjegyet (ez ismét 9 lehetőség), és így tovább, mindig 9 lehetőségből választhatunk. Tehát
8 9 ilyen szám van. (Megjegyzés: ha hátulról kezdenénk a kitöltést, akkor az első jegyhez érkezve
nem tudnánk befejezni a szorzást, ugyanis itt 9 vagy 8 lehetőségünk lenne aszerint, hogy a második jegy 0 vagy nem 0.)
b) Célszerű először a kérdéses halmaz komplementerét összeszámolni, vagyis meghatározni,
hogy hány olyan 8-jegyű szám van, amelyben nem szerepel 5-ös számjegy. Ekkor az első jegy 4
csak 8-féle lehet, a többi jegy pedig 9-féle, ez összesen 8x9 a 7-en darab „rossz” szám.
A keresett „jó” számokat a „jó = összes – rossz” módszerrel kapjuk: 7 7 9 10 8 9 ⋅ −⋅ számban szerepel 5-ös számjegy.
2., Ha mind a 8 állat különböző lenne, akkor 8!-féle sorrendet kapnánk. Ha viszont az
azonos típusú állatokat nem különböztetjük meg, akkor a lehetőségek száma 8!
4! 1! 3! ⋅ ⋅ . Tekintsük
ugyanis az eredeti 8!-féle sorrendet. Mivel a 4 oroszlánt nem különböztetjük meg, és az oroszlánokat egymás között 4!-féleképpen tudjuk sorba állítani, ezért – ha eltekintünk az oroszlánok
megkülönböztetésétől – minden esetet 4!-szor számoltunk meg, így ennyivel osztanunk kell a lehetőségek számát. Hasonlóképpen a 3 jegesmedvét 3!-féleképpen tudjuk sorba állítani, ezért, mivel a jegesmedvéket sem különböztetjük meg, minden esetet 3!-szor számoltunk meg, így ennyivel osztanunk kell a lehetőségek számát.
3., Tekintsük azt az egyszerű gráfot, amelynek csúcsai az emberek, továbbá két csúcs között pontosan akkor vezessen él, ha a megfelelő két ember kezet fogott egymással. Ekkor a kérdés
átfogalmazható így: van-e olyan 8 csúcsú egyszerű gráf, amelyben minden csúcs foka különböző?
Egy 8 csúcsú egyszerű gráfban a csúcsok foka 0, 1, 2, …, 7 lehet. Ez éppen 8 lehetséges érték, így
ha 8 különböző fokú csúcs lenne, akkor a felsoroltak közül mindegyik fokszámnak szerepelnie
kellene. Viszont a 7-edfokú csúcs minden másikkal össze van kötve, a 0-adfokú csúcs pedig semelyik másikkal nincs összekötve, így e két fokszám nem szerepelhet egyszerre a gráfban. Vagyis nincs ilyen gráf, azaz nem lehetséges, hogy mindenki különböző számú emberrel fogott kezet.
Megjegyzés: Ezzel azt is beláttuk, hogy bármely (legalább két pontú) egyszerű gráfban van két
azonos fokú csúcs.
4., Az a) esetben létezik ilyen gráf
A b) esetben a fokszámok összege 6 +6+ 5 +4+ 4+ 3 +2+ 2+ 1+ 33 = , ami páratlan, így nem
létezik ilyen gráf. (Hiszen ha létezne, annak 33: 2 16,5 = éle lenne, ami nyilvánvalóan lehetetlen.)
5., Fokszám tétel miatt (fokszám összegből adódóan) csak páratlan lehet, és persze legfeljebb 5, hiszen 6 csúcs van. Az 1 és az 5 lehetetlen a fokszám eloszlás miatt (lásd 4 d), 3 lehetséges,van kosntrukció.
6., Kovács úr 4-féle tisztséghez juthat, ezt követően a maradék három tisztségre a többi
19 tag közül választhatunk, ez összesen 4 19 18 17 23256 ⋅⋅⋅= lehetőség.
Másképpen: Ha Kovács úrra nem figyelünk, összesen 20 19 18 17 ⋅⋅⋅ -féle kimenetele lehet a választásnak. Ezek közül 19 18 17 16 ⋅⋅⋅ olyan lehetőség van, amikor Kovács úr nem jut tisztséghez.
A jó esetek száma így 20 19 18 17 19 18 17 16 20 16 19 18 17 23256.
7., 7*6/2 = 21.
21-9 = 12.
8., a. (20/5)-féle
15504 jutalmazási sorrend lehetséges.
b. 20x19x18x17x16
azaz 1860480 jutalmazási sorrend lehetséges.
c. 5! =120- féle kiosztás lehetséges.
9., Mind a négy ember maximum 3 levelet írhatott egy héten: (4x3=12 vagy b)
Tessék