Rugalmas ütközés

Remélem, hogy az egy hónapos késés nem jelent gondot. Ez a ferde rugalmas ütközés egyik speciális esete.
Be fogjuk bizonyítani, hogy `u_1=v_1`, `u_2=v_2`, és `alpha=30°`.
A levezetéshez és a prezentáció elkészítéséhez egy kis türelmet kérek!

Általános esetben az ütközés pillanatában a golyókon két hatásvonalat fedezhetünk fel. (lásd 2. csatolt képet)
Az egyik az ütközés hatásvonala a másik a rá merőleges ütközési normális. A sebességvektorokat felbontjuk a hatásvonalakkal párhuzamos összetevőkre. Legyenek ezek az `u_1^(|\|)` és `u_1^bot` valamint `u_2^(|\|)` és `u_2^bot`, illetve értelemszerűen `v_1^(|\|)` és `v_1^bot`, `v_2^(|\|)` és `v_2^bot,` ahol `u_1` és `u_2` az ütközés előtti sebességek, míg a `v_1` és `v_2` az ütközés utáni sebességek.

Ebben az eseben a normálissal párhuzamos összetvőkre felírható a következő
egyenlet:

`v_1^bot=u_1^bot`
`v_2^bot=u_2^bot`

Míg az ütközés hatásvonalán felírható a centrális rugalmas ütközésre már ismert megmaradási törvények:
`m_1*u_1^(|\|)+m_2*u_2^(|\|)=m_1*v_1^(|\|)+m_2*v_2^(|\|)`,

`frac{m_1*(u_1^(|\|))^2}{2}+frac{m_2*(u_2^(|\|))^2}{2}=frac{m_1*(v_1^(|\|))^2}{2}+frac{m_2*(v_2^(|\|))^2}{2}`.


A feladványhoz tartozó koordináta-rendszerben az ütközési normális hatásvonala a `60°`-os szöget bezáró egyenes mentén van. (lásd 1. csatolt képet) Ennek egyenlete `x mapsto sqrt(3)*x`.
Ekkor `u_2^(|\|)=0` m/s; `u_2^(bot)=1,2` m/s; `u_1^(bot)=1` m/s és `u_1^(|\|)=sqrt(3)` m/s. Ha megoldjuk a megmaradási törvényekhez tartozó egyenletrendszert, akkor egyik megoldásnak kapjuk a `v_1^(|\|)=sqrt(3)` m/s illetve `v_2^(|\|)=0` m/s. Mivel `v_1^(bot)=1` m/s illetve `v_2^(bot)=1,2` m/s kapjuk, hogy `v_1=2` m/s illetve `v_2=1,2` m/s. Ebből meg azonnal következik, hogy a kérdéses szög csak `alpha=30°` lehet.
Megjegyzem, hogy a közös súlypont útvonala a rugalmas ütközés után nem változik meg, amelynek egyenlete szintén levezethető: `frac{0*x*0,4+sqrt(3)*x*2,5}{2,9}=frac{sqrt(3)*50*x}{29}`.
Tehát az egyenlete a megadot koordináta-rendszerben `x mapsto frac{sqrt(3)*50*x}{29}`, ami egy egyenes egyenlete.