Gradiens

jó leesett....

Ezúttal precízen:

h(x,y)=(3x−3y−5)⋅(e^(2x+3y−21))

1: Lépésként a kétváltozós függvényt kell deriválnunk x és y szerint külön-külön.
Kétváltozós függvények deriválásánál ha pl. x szerint deriválom akkor összes olyan tag amiben nincs x konstansként kezelendő.Ugyanígy y szerinti deriválás esetén.

Számítsuk ki az "x" szerinti deriváltakat:
Szorzatot kell deriválnunk azaz: (f*g)' =(f)'*g+f*(g)'
Az "f" függvény legyen a: (3x−3y−5)
A "g" függvény pedig legyen az e^(2x+3y-21)

(f)'*g kiszámítása:
Az f x szerinti deriváltja 3. Ezt meg kell szoroznunk a g-vel : 3*e^(2x+3y-21) ---> (f)'*g

f*(g)' kiszámítása:
Az "e" függvény összetett függvény: először magát az "e" függvényt deriválom majd beszorzom a (2x+3y-21) deriváltjával:
e^(2x+3y-21)*2 .Ezt még be kell szorozni a z f függvénnyel: e^(2x+3y-21)*2 *(3x−3y−5) ----> f*(g)'

Tehát az x szerinti derivált: (f)'*g+f*(g)' = 3*e^(2x+3y-21) + e^(2x+3y-21)*2 *(3x−3y−5)
Ezt rendezve kapjuk: (6x−6y−7)*e^(2x+3y−21) ---> x szerinti derivált



Most meg kell határozzuk az y szerinti deriváltat is:
Ugyanúgy mint az előbb szorzatot deriválunk: (f*g)' =(f)'*g+f*(g)'
f: 3x-3y-5
g: e^(2x+3y-21)

(f)'*g kiszámítása: most y szerint kell deriválnunk azaz olyan mintha az x-es tagok konstansok lennének

f deriváltja y szerint : -3 Ezt beszorozva g-vel : -3*e^(2x+3y-21) ----> (f)'*g

f*(g)' kiszámítása:
Deriválom a "g" függvényt y szerint:
g deriváltja: e^(2x+3y-21) *3 Ezt beszorozva f változatlan alakjával: e^(2x+3y-21) *3* (3x-3y-5) ---> f*(g)'

Tehát az y szerinti derivált: (f)'*g+f*(g)' = -3*e^(2x+3y-21) + e^(2x+3y-21) *3* (3x-3y-5) .
Ezt rendezve kapjuk: 9*(x-y-2)*e^(2x+3y-21) --> y szerinti derivált

A deriváltakat most kiértékeljük a (6,3) pontokban:
Az x szerinti derivált a (6,3) pontban: (6x-6y-7)*e^(2x+3y-21) = 6*6-6*3-7*e^(12+9-21)= 11*e^0= 11

Az y szerinti derivált a (6,3) pontban: 9*(x-y-2)*e^(2x+3y-21) =9*(6-3-2)*e^(2*6+9-21)=9*e^0=9

Tehát a megoldás:
∇h(6;3)=(11,9)