Matematika

Szerintem ok a feladat leírása.

Egy rajz is segíthet áttekinteni a feladatot.

Azt a pontot keressük a megadott `x+3y=7` azaz `y= (-1/3)*x +7/3` egyenesen, amelyik a P és R ponttól egyenlő távolságra van (Q).

A P és R pontoktól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a P és R szakasz felező merőlegese.

Fel kell írni ennek a felező merőlegesnek az egyenletét.

A felező merőleges egy `vec (PR)` normálvektorú egyenes lesz: `vec (PR)`(1;-5)
(a normálvektor koordinátáit úgy kaphatod meg, hogy a P-ből R-be mutató vektort az origóba helyezed).

A felező merőleges egyenes egyenletének alakja: `x - 5*y + d = 0`, ami átmegy a PR szakasz felező pontján.

Az F felező pont koordinátái: `f1 = (p1+r1)/2 = (4+(-2))/2 = 1`
`f2 = (p2+r2)/2 = (3+5)/2 = 4`

Tehát F(1;4)

d-t kifejezzük:
`d = -x + 5*y = -1+20 = 19`

`-x + 5*y + 19 = 0`

Ebből a PR felezőmerőlegesének egyenlete y-ra rendezve:
`y=(1/5)*x - (19/5)`

A felező merőleges és az `y= (-1/3)*x +7/3` egyenesek metszéspontja lesz a keresett pont.
A kétismeretlenes egyenlet rendszert kell megoldani. x és y adják annak a pontnak a koordinátáit, amely P-től is és R-től is egyenlő távolságra van az x+3y=7 egyenesen.

`I. y=(1/5)*x - (19/5)`
`II. y= (-1/3)*x +7/3`

`(1/5)*x - (19/5) = (-1/3)*x +7/3`

`(8/15)*x = 92/15`
`x=6,13`
`y=-2,57`

Tehát Q(6,13;-2,57) pont van P-től és R-től egyenlő távolságra az egyenes úton.

A 2. kérdésben pedig a PQ szakasz hosszát keressük:

A P és Q megfelelő koordinátáinak "távolságát" (x-ek és y-ok előjel helyes különbségét) behelyettesítjük a Pithagorasz-tételbe, így megkapjuk az átfogót, ami éppen a PQ távolság:
(mivel az x-ek és y-ok különbségei befogók egy PQ átfogójú, derékszögű háromszögben)

`sqrt((6,13-4)^2+(3+2,57)^2)=5,96`

Ha 1 egység 10 km, akkor 59,6 km-re van az autó a településektől.