Kombinatorika

Ha n páratlan, vagyis `((n),(n))` negatív előjelű:

Tudjuk, hogy
`((n),(k)) = ((n),(n-k))`
Páratlan n esetén `((n),(0))` egyező értékű párja, vagyis `((n),(n))` kiejtik egymást, mert éppen ellentétes az előjelük. `((n),(1))`-hez tartozik `((n),(n-1))`, azok is kiejtik egymást, stb. Páratlan n esetén éppen páros darab tagból áll a váltott előjelű összeg, tehát mindegyiknek van ellentétes előjelű párja, 0 lesz az összeg.

Kombinatorikai igazolás arra az esetre, ha n páros:

Ekkor ezt kell igazolni:
`((n),(0))+((n),(2))+...+((n),(n)) = ((n),(1))+((n),(3))+...+((n),(n-1))`
A bal oldalon az van, hogy n elemből hányféleképpen választhatunk ki páros darabot, a jobb oldalon meg az, hogy páratlant.
Nézzünk kicsit mást: `n-1` elemű halmaznak `2^(n-1)` részhalmaza van, vagyis annyiféleképpen tudunk kiválasztani belőle bármit. A bármi az, hogy páros vagy páratlan darab elemet.
Vegyük most az `n` elemű halmazt. Az első `n-1` elemből csináljuk az előző "bármi" kiválasztást. Ha páros elem jött ki, adjuk hozzá a halmazhoz az `n`-edik elemet is, ha páratlan, akkor ne adjuk hozzá. Amit így kaptunk, az pont az, hogy a nagy halmazból kiválasztottunk páratlan darab elemet. Ez tehát a jobb oldal. Annak az összege tehát `2^(n-1)`.
Ha ehhez a páros elemű kiválasztásokat is hozzáadnánk, megkapnánk az összes lehetséges részhalmazt, ami `2^n`. Vagyis a párosak száma `2^n-2^(n-1)=2^(n-1)`, megegyezik a páratlanokkal.