Matek

Az első oldal feladatai egyszerűbbek, ott simán szorozz be a nevezőkkel.
Mondjuk 1200.f)
`(2(x-3))/5-(3(2-x))/2=(2-3x)/5-3`
szorozzunk `2·5`-tel:
`(2(x-3))·2-(3(2-x))·5=(2-3x)·2-3·10`
`4(x-3)-15(2-x)=2(2-3x)-30`
Bontsuk fel a zárójeleket. Közben vigyázni kell az előjelre: ahol kivonás van a zárójelen kívül, az mindent ellenkezőjére fordít:
`4·x-4·3\ -\ 15·2+15·x=2·2-2·3x\ -\ 30`
Vagyis az második zárójelnél volt érdekes az előjel: a `2`-ből `-15·2` lett, a `-x`-ből `+15·x`.

`4x-12 -30+15x=4-6x - 30`
Vonjuk össze először mondjuk azokat, amikben nincs `x`.
A bal oldalon -12 és -30, az együtt -42
A jobb oldalon +4 és -30 van, az -26:
`4x+15x-42=-6x - 26`
Aztán vonjuk össze az x-eket is a bal oldalon:
`19x-42=-6x - 26`
Aztán adjunk mindkét oldalhoz 42-t, hogy a bal oldalon csak az x maradjon:
`19x=-6x +16`
Adjunk mindkét oldalhoz 6x-et, hogy a jobb oldalon ne legyen x:
`25x= 16`
Osszunk 25-tel:
`x=(16)/(25)`
Kész.

A másik oldallal majd később tudok foglalkozni, ha addig más nem segít...

A 2.oldal: egyenletrendszerek behelyettesítéssel.
példa: 17-es első
3x-y=4
3y-5x=5
Az egyik ismeretlenre rendezzük az egyenletet. Pl az első egyenletben az y-ra.
3x-y=4
y=4-3x
y=-4+3x Ezt behelyettesítjuk a másik egyenletbe az y helyére.
3(-4+3x)-5x=5 (megoldjuk x-re)
-12+9x-5x=5
-12+4x=5
4x=17
x=17/4 Ezt visszahelyettesítjuk az y=4-3x-be.
y=4-3x
y=4-3*17/4 (megoldjuk y-ra) (közös nevezővel felszorzunk)
y=-16/4+12/4*17/4
y=188/4
y=47
Ellenőrzés (bármelyik eredeti egyenlettel):
x=17/4, y=47
pl.: 3x-y=4
3*17/4-47=4 (kn.)
12/4*17/4-188/4=16/4
16/4=16/4
Ha az ellenőrzés kijön, jól dolgoztál.
Tehát megoldás: x=17/4 és y=47

Még az abszolút értékes feladatok maradtak hátra.

Mondjuk a 16.b), az a nehezebb.
`|x+3|+|x-2|=7`

Az abszolút értéknél a fontos az, hogy ami az abszolút értékek belsejében van, az mikor negatív és mikor pozitív.
`x+3`: ez `x < -3` esetén negatív
`x-2`: ex pedig `x < 2` esetén negatív.

Vagyis a -3 és a +2 az érdekes pontok. Rajzold fel a számegyenesre (vagy képzeld el magad előtt). Ez a két pont 3 szakaszra bontja a számegyenest, ezt a három tartományt külön-külön kell nézni:

a) Első tartomány: `x < -3`
Itt az első absz.érték belseje negatív, a másodiké szintén negatív.
Vagyis mindkét absz.érték jelet úgy tudjuk elhagyni, ha a belsejét negáljuk:
`-(x+3)+(-(x-2))=7`
`-x-3-x+2=7`
`-2x-1=7`
`-2x=8`
`x=-4`

Ez tényleg kisebb -3-nál, tehát ez jó megoldás.

b) Második tartomány: `-3 ≤ x < 2`
Itt az első belseje pozitív, a másodiké negatív. Tehát csak a másodikat kell negálni:
`(x+3)+(-(x-2))=7`
`x+3-x+2=7`
`5=7`
Ellentmondás lett, itt nincs megoldás.

c) Harmadik tartomány: `x ≥ 2`
Itt mindkét belső pozitív, nem kell negálni semmit, sima zárójel lesz minden absz.érték jelből:
`(x+3)+(x-2)=7`
`x+3+x-2=7`
`2x+1=7`
`2x=6`
`x=3`

Ez tényleg nagyobb 2-nél, ez is jó megoldás.

Több tartomány nincs. Két megoldás lett, -4 és 3.

Ellenőrzés: be kell helyettesíteni az eredeti egyenletbe:

1) x=-4
`|(-4)+3|+|(-4)-2|`
`=|-1|+|-6|`
`=1+6=7`
Kijött, rendben.

2) `x=3`
`|(3)+3|+|(3)-2|`
`=|6|+|1|`
`=6+1=7`
Ez is jó.