Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Exponenciális egyenlet
iQuester
kérdése
615
Oldd meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletet:
`2*cos^2((x^2+3y)/6)=3^x+3^(-x)`
`2*cos^2((x^2+3y)/6)=3^x+3^(-x)`
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
egyenlet
egyenlet
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Először bizonyítsunk be egy segédtételt:
Bármilyen pozitív számhoz ha hozzáadjuk a reciprokát, az eredmény legalább 2 lesz. Egyenlőség x=1 esetén áll fenn:
`x+1/x ≥ 2`
Szorozhatunk x-szel, mert pozitív
`x^2+1≥2x`
`x^2-2x+1≥0`
`(x-1)^2≥0` ami minden x-re igaz, nulla pedig x=1-nél lesz. Kész.
(A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből is levezethető...)
Most `3^x` pozitív, a reciproka `3^(-x)`, ezért az összegük legalább 2:
`2·cos^2((x^2+3y)/6) ≥ 2`
`cos^2((x^2+3y)/6) ≥ 1`
Ebből csak az egyenlőség lehetséges, hisz a koszinusz nem nagyobb 1-nél és nem is kisebb -1-nél.
A jobb oldalon pedig 2 akkor lehetett, ha `3^x=1`, vagyis `x=0`
Szóval ez lett belőle:
`cos^2(y/2) = 1`
Fejezd be...
A periódusról se feledkezz meg.
Bármilyen pozitív számhoz ha hozzáadjuk a reciprokát, az eredmény legalább 2 lesz. Egyenlőség x=1 esetén áll fenn:
`x+1/x ≥ 2`
Szorozhatunk x-szel, mert pozitív
`x^2+1≥2x`
`x^2-2x+1≥0`
`(x-1)^2≥0` ami minden x-re igaz, nulla pedig x=1-nél lesz. Kész.
(A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből is levezethető...)
Most `3^x` pozitív, a reciproka `3^(-x)`, ezért az összegük legalább 2:
`2·cos^2((x^2+3y)/6) ≥ 2`
`cos^2((x^2+3y)/6) ≥ 1`
Ebből csak az egyenlőség lehetséges, hisz a koszinusz nem nagyobb 1-nél és nem is kisebb -1-nél.
A jobb oldalon pedig 2 akkor lehetett, ha `3^x=1`, vagyis `x=0`
Szóval ez lett belőle:
`cos^2(y/2) = 1`
Fejezd be...
A periódusról se feledkezz meg.
Módosítva: 8 éve
1
- Még nem érkezett komment!