Külön-külön küldöm őket

1. Grafikus

`a)`

`|x+1|=x/2+5`

Ábrázolni kell mindkét oldalt, ahol metszik egymást az a megoldás. Csatolom a képet a grafikonokról.

`-4`-nél és `8`-nál, azaz:

`M={-4; 8}`

`b)`

`(x-3)^2>=-2x+6`

Itt azt kell leolvasni, hogy mikor van lejjebb a `-2x+6` grafikonja.

`M=]-∞; 1]cup[3; ∞[`

2. ÉT, ÉK vizsgálat

`a)`

`sqrt(8-2x)=sqrt(x-5)`

A négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám lehet:

`8-2x>=0`

`2x=<8`

`x=<4`

és

`x-5>=0`

`x>=0`

A kettő nem lehet egyszerre igaz, ezért nincs megoldás.

`M=∅`

`b)`

`(6-3x)^2+|y+x|=0`

Az az y nem igazán értem, hogy mit keres ott. Ezt így nem igazán lehet megoldani.

3. Szorzattá alakítás

`a)`

`(2x(x+3)(6-3x))/(x-2)=0`

A nevezővel beszorzod, ami ugye nem lehet nulla.

Kikötés: `x-2≠0`, azaz `x≠2`

`2x(x+3)(6-3x)=0`

Egy szorzat akkor nulla, ha az egyik tényezője nulla.

vagy

`2x=0`

`x=0`

vagy

`x+3=0`

`x=-3`

vagy

`6-3x=0`

`3x=6`

`x=2`, de ez nem lehet a kikötés miatt

Tehát a megoldás:

`M={-3; 0}`

`b)`

`5x^2-15x=0`

Kiemelek:

`5x(x-3)=0`

vagy

`5x=0`

`x=0`

vagy

`x-3=0`

`x=3`

`M={0; 3}`

4. Előjelvizsgálat

`a)`

`(3+3x)/(6-x)=<0`

Kikötés:

`6-x≠0`

`x≠6`

Mikor lesz nulla vagy nullánál kisebb a hányados?

vagy akkor, ha

`3+3x=<0`

`3x=<3`

`x=<-1`

és

`6-x>0`

`x<6`

összeírva:

`]-∞; -1]`

vagy akkor, ha:

`3+3x>=0`

`3>=-3x`

`1>=x`

`x=<-1`

és

`6-x<0`

`x>6`

összeírva:

`]6; ∞[`

A megoldás tehát:

`M=]-∞; -1]cup]6; ∞[`

`b)`

`(2x+8)/(1-x)>3`

Kikötés:

`1-x≠0`

`x≠1`

Nullára rendezem:

`(2x+8)/(1-x)-3>0`

`((2x+8)-3(1-x))/(1-x)>0`

`(2x+8-3+3x)/(1-x)>0`

`(5x+5)/(1-x)>0`

Mikor lesz ez a hányados nagyobb, mint nulla?

vagy akkor, ha:

`5x+5>0`

`5x>-5`

`x>-1`

és

`1-x>0`

`x<1`

Összesítve:

`]-1; 1[`

vagy akkor, ha:

`5x+5<0`

`5x<-5`

`x<-1`

és

`1-x<0`

`x>1`

Ez a kettő nem teljesülhet egyszerre, tehát ilyen lehetőség nincs.

Akkor a megoldás:

`M=]-1; 1[`

A grafikus abszolútértékes egyenlet megoldása algebrailag:

Vagy (x+3) nagyobb egyenlő nulla, vagy (x+3) kisebb mint nulla, ezen a két tartományon kell vizsgálni.
Ha az elsőt nézzük, akkor "x" nagyobb vagy egyenlő (-3), azaz itt:
(x+3)=0,5x+5, amelyből 0,5x=2, tehát x=4, ez megoldás mert a tartományba esik!

Ha a másodikat nézzük, akkor "x" kisebb, mint (-3) értékeknél vizsgálunk:
-(x+3)=0,5x+5, -x-3=0,5x+5-tel, vagyis -8=1,5x, azaz x=(-16/3), ez is jó megoldás mivel (-5,33333) kisebb mint (-3), így két megoldásunk lesz: x(1)=4 , illetve x(2)=(-16/3) !

5. Mérlegelv

`a)`

`2(x-4)^2<3x(x-3)-(x+3)(x-3)`

`2(x^2-8x+16)<3x^2-9x-(x^2-9)`

`2x^2-16x+32<3x^2-9x-x^2+9`

`2x^2-16x+32<2x^2-9x+9`

`-16x+32<-9x+9`

`32<7x+9`

`7x>23`

`x>23/7`

`M=]-23/7; ∞[`

`b)`

`(x-7)/4-2=(2x-10)/3-(7-2x)/6` `//*12`

`3(x-7)-24=4(2x-10)-2(7-2x)`

`3x-21-24=8x-40-14+4x`

`3x-45=12x-54`

`9x=9`

`x=1`

Ekvivalens átalakítások miatt a kapott gyökök jók.

`M={1}`

`c)`

`2/(x-5)-1/(2x+10)=(x+25)/(x^2-25)`

Kikötés:

`x-5≠0`

`x≠5`

és

`2x+10≠0`

`x≠-5`

`2/(x-5)-1/(2x+10)=(x+25)/(x^2-25)`

`2/(x-5)-1/(2(x+5))=(x+25)/((x-5)(x+5))` `//*2(x-5)(x+5)`

`4(x+5)-(x-5)=2(x+25)`

`4x+20-x+5=2x+50`

`3x+25=2x+50`

`x=25`

Ekvivalens átalakítások miatt a kapott gyökök jók.

`M={25}`

6. Abszolútérték felbontás

`a)`

`|2x+6|>=12`

Ha `2x+16>=0`, azaz `x>=-8`, akkor:

`2x+16>=12`

`2x>=-4`

`x>=-2`

`M_1=[-2; ∞[`

Ha `2x+16=<0`, azaz `x<-8`, akkor:

`-(2x+16)>=12`

`-2x-16>=12`

`-2x>=28`

`x=<-14`

`M_2=]-∞; -14]`

Tehát a megoldás:

`M=]-∞; -14]cup[-2; ∞[`

`b)`

`|4-2x|=5-x`

Ha `4-2x>=0` azaz `x=<2`, akkor:

`4-2x=5-x`

`x_1=-1`

Ha `4-2x<0`, azaz `x>2`, akkor:

`-(4-2x)=5-x`

`-4+2x=5-x`

`3x=9`

`x_2=3`

megoldás:

`M={-1; 3}`