Sok feladat

Huh, ez sok lesz, de most nekiesek. Külön-külön válaszban fogom küldeni őket.

1. kép

`g)`

`(x^2-5x+6)/(x^2-7x+12)=2`

Itt érdemes átalakítani a gyöktényezős alakká:

`ax^2+bx+c=color(blue)(a(x-x_1)(x-x_2))`

Ehhez meg kell oldani a számlálót és a nevezőt is, mint másodfokút.

`x^2-5x+6=0`

`x_1=2`
`x_2=3`

A gyöktényezős alak: `(x-2)(x-3)`

`x^2-7x+12=0`

`x_1=3`
`x_2=4`

`(x-3)(x-4)`

Visszaírom:

`((x-2)(x-3))/((x-3)(x-4))=2`

`D=RR\\{3, 4}`, azaz az `x` nem lehet se három se négy, mert akkor nullával osztanánk

`((x-2)cancel((x-3)))/(cancel((x-3))(x-4))=2`

`(x-2)/(x-4)=2`

`x-2=2(x-4)`

`x-2=2x-8`

`x=6`

(A hat benne van az értelmezési tartományba, tehát jó lesz.)

`M={6}`

`h)`

`(x^2+6x-7)/(3x^2-x-2)=5`

`x^2+6x-7=0`

`x_1=-7`
`x_2=1`

`3x^2-x-2=0`

`x_1=-2/3`
`x_2=1`

`((x+7)(x-1))/(3(x+2/3)(x-1))=5`

`D=RR\\{-2/3; 1}`

`((x+7)cancel((x-1)))/(3(x+2/3)cancel((x-1)))=5`

`(x+7)/(3(x+2/3))=5`

`(x+7)/(3x+2)=5`

`x+7=5(3x+2)`

`x+7=15x+10`

`14x=-3`

`x=-3/14`

`x in D`

`M={-3/14}`

2. Viète-formulás kép:

Először is, a Viète-formulák:

`x_1+x_2=-b/a`

`x_1*x_2=c/a`

Itt már meg van adva két gyök már csak ki kell hozzá találni valamit. Pl.:

`a)`

`x_1=5`

`x_2=2`

`5+2=-b/a`

`7=-b/a`

Mondjuk akkor legyen a `b` 14, az `a` pedig `-2`

Kell még a c

`5*2=c/-2`

`c=-20`

És akkor az egyenlet:

`-2x^2+14-20=0`

Leegyszerűsítve:

`-x^2+7-10=0`

Mégegy:

`5*2=c/a`

Legyen a `c` 30 és az `a` 3.

Ekkor a `b`:

`7=-b/3`

`b=-21`

Az egyenlet:

`3x^2-21x+30=0`

`x^2-7x+10=0`

Láthatod, itt is szinte ugyanaz jött ki, csak -1-egy megszorozva, ami másodfokú esetén nem számít.

Tehát, akármit írsz eredetileg az `a`, `b`, `c` helyére, ha leegyszerűsíted a végén csak kettő marad (egymás ellentettei).

És ezt megcsinálhatod a többinél is, nekem már nincs rá időm.

Ja, még annyit, hogy ezeket egyszerűbben is meg lehet oldani, a gyöktényezős alak segítségével, és akkor nem kell a Viète-formulákat használni, de mivel ez volt a feladat címe, ezért így csináltam.

De akkor most megmutatom a gyöktényezős alakkal is:

`x_1=5`

`x_2=2`

Felírható úgy, hogy:

`(x-5)(x-2)=0`

Felbontom a zárójelet:

`x^2-5x-2x+10=0`

`x^2-7x+10=0`

És ki is jött ugyanez.

3. kép

Itt meg kell vizsgálni a diszkriminánst. Ha nagyobb, mint nulla, akkor két megoldása van, ha nulla, akkor egy (azaz kettő egyenlő) és ha kisebb, mint nulla, akkor pedig nincs valós megoldása.

A diszkrimináns:

`color(blue)(D=b^2-4ac)`


`a)`

`6x^2+7x+1`

`D=7^2-4*6*1=25`

`D>0`

2 valós gyök

`b)`

`6x^2+7x+5`

`D=7^2-4*6*5=-71`

`D<0`

nincs valós gyök

`c)`

`-3x^2-4x-2=0`

`D=(-4)^2-4*(-3)*(-2)=-8`

`D<0`

nincs valós gyök

`d)`

`-x^2+10x-25=0`

`D=10^2-4*(-1)*(-25)=0`

`D=0`

egy valós gyök

`e)`

`2x^2-4x+2=0`

`D=(-4)^2-4*2*2=0`

`D=0`

egy valós gyök

`f)`

`-3x^2+4x+2=0`

`D=4^2-4*(-3)*2=40`

`D>0`

két valós gyök

4. kép

Szintén a gyöktényezős alakot használjuk.

`a)`

`x^2-2x-3=0`

`x_1=-1`

`x_2=3`

Tehát ez `(x+1)(x-3)` lesz.

`d)`

`-20x^2+7x+6=0`

`x_1=-2/5`

`x_2=3/4`

Ez pedig:

`-20(x+2/5)(x-3/4)`

`-(5x+2)(4x-3)`

A többit ez alapján már meg tudod csinálni.

Nagyon szépen köszönöm! Isten vagy!