Sziasztok!

Gyakorlom a különböző feladattípusokat, ezzel sem szokott gondom lenni.
Most viszont egy kisebb problémába ütköztem, ebben kérném a segítségeteket.

Feladat: Határozza meg az alábbi kétváltozós függvény lokális szélsőértékhelyeit, illetve
nyeregpontjait!

f(x;y) = (x)^3+8*(y)^3-6xy+12
f'x(x;y) = 3(x)^2-6y
f'y(x;y) = 24(y)^2-6x

3(x)^2-6y=0
24(y)^2-6x=0 --> Kifejezés: x=4(y)^2

Behelyettesítés a másikba:
3*(4(y)^2)^2-6y=0
3*(16(y)^4)-6y=0
48(y)^4-6y=0
8(y)^4-y=0

Ugyebár itt az lenne a lényeg, hogy meg kéne kapnom, hogy Y mely értékénél/értékeinél lesz 0 az egyenlet, és abból ki lehetne fejezni X-et, ezeket pontokként fel lehetne írni,
jöhetnének a második deriváltak x és y szerint, utána a képlettel meg meg lehetne állapítani, hogy adott pont nyeregpont-e, vagy szélsőérték-e.

Namármost, nekem nem is ezzel a résszel van a gondom, amit most szövegesen leírtam, hanem ezzel a negyedfokú egyenlettel.
Ezt hogyan oldhatnám meg?

Vegyétek figyelembe, hogy nem BME-re meg egyéb mérnöki egyetemre járok, tehát ilyen nagyon hiper-szuper számításokat és képleteket nem tanulunk, tehát biztosan nem olyannal kell megoldanunk (bár elhiszem, hogy ilyen megoldás is lenne rá).

Biztosan van rá valami egyszerű szimpla megoldás, amire képtelen vagyok rájönni. Ebben kérném a segítségeteket!
Levezetéssel, ha lehetséges. (nem kell az egész feladatot levezetni, elég az y-os egyenletet ha megoldjátok, onnan már menni fog).

Köszönöm!