Matematika

Azon `x_1;x_2;x_3` skalárokat kell meghatároznunk, melyekre igaz, hogy: `x_1*a_1+x_2*a_2+x_3*a_3=c` azaz meg kell oldanunk az alábbi inhomogén egyenletrendszert:



`x_1*((1),(2),(0))+x_2*((-1),(3),(5))+x_3*((2),(-1),(1))=((7),(-1),(-9))=>((x_1),(2x_1),(0))+((-x_2),(3x_2),(5x_2))+((2x_3),(-x_3),(x_3))=((7),(-1),(-9))`



Ez alapján felírható a következő egyenletrendszer: `{(x_1-x_2+2x_3=7),(2x_1+3x_2-x_3=-1),(5x_2+x_3=-9):}`



Ezt az egyenletrendszert megoldhatjuk Cramer szabállyal is, amennyiben a lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixának determinánsa nem 0. Vizsgáljuk meg az együttható mátrix determinánsát:

`absA=abs([1,-1,2],[2,3,-1],[0,5,1])=1*abs([3,-1],[5,1])-2*abs([-1,2],[5,1])=1*(3+5)-2*(-1-10)=color(red)(30)`



Mivel a determináns nem 0, így alkalmazható a Cramer-szabály:

`x_1=abs([7,-1,2],[-1,3,-1],[-9,5,1])=90/30=color(red)(3)`

`x_2=abs([1,7,2],[2,-1,-1],[0,-9,1])=(-60)/30=color(red)(-2)`

`x_3=abs([1,-1,7],[2,3,-1],[0,5,-9])=30/30=color(red)(1)`




Ellenőrizzük le az eredményteket.

`x_1*a_1+x_2*a_2+x_3*a_3=c`

`3*((1),(2),(0))-2*((-1),(3),(5))+((2),(-1),(1))=color(red)(((7),(-1),(-9)))`

Tehát az eredmények jók.