`1-x^2ge0` miatt `-1lexle1`
helyettesítsünk `x=cosalpha` -t, ahol `0lealphalepi`
`4cos^3alpha-3cosalpha+(1-4cos^2alpha)cdot\sqrt(1-cos^2alpha)=0`
`sinalpha=sqrt(1-cos^2alpha)` miatt:
`cosalpha(4cos^2alpha-3)+(1-4cos^2alpha)cdot\sinalpha=0`
`4cos^2alpha-3=4(1-sin^2alpha)-3=1-4sin^2alpha` miatt
`cosalpha(1-4sin^2alpha)+(1-4cos^2alpha)cdot\sinalpha=0`
zárójelfelbontás:
`cosalpha-4cosalphacdot\sin^2alpha+sinalpha-4sinalphacdot\cos^2alpha=0`
`cosalpha+sinalpha-4cosalphacdot\sin^2alpha-4sinalphacdot\cos^2alpha=0`
`sinalpha+cosalpha-4cosalphacdot\sinalpha(sinalpha+cosalpha)=0`
`sinalpha+cosalpha` -t kiemelve:
`(sinalpha+cosalpha)(1-4cosalphacdot\sinalpha)=0`
`sinalpha+cosalpha=0` -ból `tgalpha=-1` következik, amiből `alpha_1=frac{3pi}{4}` vagyis `x_1=-frac{1}{sqrt2}`
behelyettesítéssel látható, hogy ez megoldása az eredeti egyenletnek:
`-frac{2}{sqrt2}+frac{3}{sqrt2}+(-1)cdotfrac{1}{sqrt2}=0`
másrészt: `1-4cosalphacdot\sinalpha=0`
`1-2sin2alpha=0`
`sin2alpha=frac{1}{2}` vagyis `2alpha_2=frac{pi}{6}` illetve `2alpha_3=frac{5pi}{6}`
`alpha_2=frac{pi}{12}` és `alpha_3=frac{5pi}{12}`
`x_2=cosfrac{pi}{12}=frac{sqrt(2+sqrt3)}{2}` és `x_3=cosfrac{5pi}{12}=frac{sqrt(2-sqrt3)}{2}`
ez utóbbi 2 gyök ellenőrzése még várat magára(szerintem megoldás mindakettő)
ui: nagyon kiváncsi lennék, melyik suliban adják fel ezt a feladatot

`x(4x^2-3)+(1-4x^2)sqrt(1-x^2)=0`
`x(4x^2-4+1)+sqrt(1-x^2)-4x^2sqrt(1-x^2)=0`
`x(4(x^2-1)+1)+sqrt(1-x^2)-4x^2sqrt(1-x^2)=0`
`x(1-4(1-x^2))+sqrt(1-x^2)-4x^2sqrt(1-x^2)=0`
`x-4x(1-x^2)+sqrt(1-x^2)-4x^2sqrt(1-x^2)=0`
`x+sqrt(1-x^2)-4x(1-x^2)-4x^2sqrt(1-x^2)=0`
`sqrt(1-x^2)+x-4xsqrt((1-x^2)^2)-4x^2sqrt(1-x^2)=0`
`sqrt(1-x^2)+x-4xsqrt(1-x^2)(sqrt(1-x^2)+x)=0`
`(sqrt(1-x^2)+x)(1-4xsqrt(1-x^2))=0`
a, egyrészt `sqrt(1-x^2)+x=0` amiből `-x=sqrt(1-x^2)`
négyzetreemeléssel jön a hamis gyök: `1-x^2=x^2` amiből `1=2x^2`
`x^2=frac{1}{2}`
`x_1=-frac{1}{sqrt2}` és `x_2=frac{1}{sqrt2}` ellenőrzéssel: `x_1` megoldás, `x_2` nem megoldás
b, másrészt: `1-4xsqrt(1-x^2)=0`
`1=4xsqrt(1-x^2)`
négyzetreemeléssel: `1=16x^2(1-x^2)` (újabb hamis gyökök)
`1=16x^2-16x^4`
`16x^4-16x^2+1=0`
új változó: `y`
`16y^2-16y+1=0`
ebből `y_1=frac{16-sqrt(256-64)}{32}` és `y_2=frac{16+sqrt(256-64)}{32}`
`y_1=frac{2-sqrt(3)}{4}` és `y_2=frac{2+sqrt(3)}{4}`
`x_3=frac{sqrt(2-sqrt(3))}{2}` és `x_4=-frac{sqrt(2-sqrt(3))}{2}`
`x_5=frac{sqrt(2+sqrt(3))}{2}` és `x_6=-frac{sqrt(2+sqrt(3))}{2}`

na itt fizetek egy sört annak aki ezeket hitelesen leellenőrzi. Tippem: `x_3` és `x_5` a jó megoldás `x_4` és `x_6` mindenképpen hamis, elég ha a grafikonra nézünk

sikerült az ellenőrzés:

`x_3=frac{sqrt(2+sqrt3)}{2}`

`4frac{(sqrt(2+sqrt3))^3}{8}-3frac{sqrt(2+sqrt3)}{2}+(1-4frac{(sqrt(2+sqrt3))^2}{4})(sqrt(1-frac{2+sqrt3}{4}))=0`

`frac{(2+sqrt3)sqrt(2+sqrt3)}{2}-3frac{sqrt(2+sqrt3)}{2}-(1+sqrt3)sqrt(frac{2-sqrt3}{4})=0`

`sqrt(2+sqrt3)+frac{sqrt3}{2}sqrt(2+sqrt3)-frac{3}{2}sqrt(2+sqrt3)-(frac{sqrt(2-sqrt3)}{2}+frac{sqrt3sqrt(2-sqrt3)}{2})=0`

`frac{sqrt3-1}{2}sqrt(2+sqrt3)-frac{sqrt3+1}{2}sqrt(2-sqrt3)=0`

kihasználva, hogy `(sqrt3-1)^2=4-2sqrt3` és `(sqrt3+1)^2=4+2sqrt3`

`frac{sqrt((4-2sqrt3)(2+sqrt3))}{2}-frac{sqrt((4+2sqrt3)(2-sqrt3))}{2}=0`

`frac{sqrt(2(2-sqrt3)(2+sqrt3))}{2}-frac{sqrt(2(2+sqrt3)(2-sqrt3))}{2}=0`

ez pedig nyilvánvaló

`x_5=frac{sqrt(2-sqrt3)}{2}`

`4frac{(sqrt(2-sqrt3))^3}{8}-3frac{sqrt(2-sqrt3)}{2}+(1-4frac{(sqrt(2-sqrt3))^2}{4})(sqrt(1-frac{2-sqrt3}{4}))=0`

`frac{(2-sqrt3)sqrt(2-sqrt3)}{2}-3frac{sqrt(2-sqrt3)}{2}+(sqrt3-1)sqrt(frac{2+sqrt3}{4})=0`

`sqrt(2-sqrt3)-frac{sqrt3}{2}sqrt(2-sqrt3)-frac{3}{2}sqrt(2-sqrt3)-(frac{sqrt(2+sqrt3)}{2}-frac{sqrt3sqrt(2+sqrt3)}{2})=0`

`-frac{sqrt3+1}{2}sqrt(2-sqrt3)+frac{sqrt3-1}{2}sqrt(2+sqrt3)=0`

kihasználva, hogy `(sqrt3-1)^2=4-2sqrt3` és `(sqrt3+1)^2=4+2sqrt3`

`-frac{sqrt((4+2sqrt3)(2-sqrt3))}{2}+frac{sqrt((4-2sqrt3)(2+sqrt3))}{2}=0`

`-frac{sqrt(2(2+sqrt3)(2-sqrt3))}{2}+frac{sqrt(2(2-sqrt3)(2+sqrt3))}{2}=0`

ez pedig nyilvánvaló