Házi sos

1. Feladat
A háromszög egyik oldala 7 cm hosszú, a vele szemben lévő szög pedig 50°, ezért használhatjuk a szinusztételt:

sin(50°) = a / 7, ahol a az ismeretlen oldal hossza

Ez alapján az ismeretlen oldal hossza:

a = 7 * sin(50°) ≈ 5,41 cm

A másik oldal hossza 5 cm, így már ismerjük a háromszög összes oldalát. Most a koszinusztételt használhatjuk az egyik szög kiszámításához. Az oldalak hosszai: a=5.41 cm, b=5 cm, c=7 cm

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2 * b * c)

cos(A) = (5² + 7² - 5.41²) / (2 * 5 * 7)

cos(A) ≈ 0.68

A szög:

A = cos^(-1)(0.68) ≈ 46,7°

A háromszögben az utolsó szög meghatározásához, össze kell adnunk a szögek mértékét, ami 180 fok, így a harmadik szög mérete:

C = 180° - 50° - 46,7° ≈ 83,3°

Végül a háromszög területe a Heron-képlettel számítható:

s = (5 + 5.41 + 7) / 2 = 8.205

A háromszög területe:

T = sqrt(s * (s - 5) * (s - 5.41) * (s - 7)) ≈ 16,88 cm²

Tehát a hiányzó oldal hossza 5,41 cm, az A és C szögek pedig körülbelül 46,7° és 83,3°. A háromszög területe körülbelül 16,88 cm².


2. Feladat
A háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, a vele szemben lévő szög pedig 30°, ezért használhatjuk a szinusztételt:

sin(30°) = a / 10, ahol a az ismeretlen oldal hossza

Ez alapján az ismeretlen oldal hossza:

a = 10 * sin(30°) = 5 cm

A másik oldal hossza 20 cm, így már ismerjük a háromszög összes oldalát. Most a koszinusztételt használhatjuk az egyik szög kiszámításához. Az oldalak hosszai: a=5 cm, b=10 cm, c=20 cm

cos(B) = (a² + c² - b²) / (2 * a * c)

cos(B) = (5² + 20² - 10²) / (2 * 5 * 20)

cos(B) = 0,8

A szög:

B = cos^(-1)(0,8) ≈ 36,9°

A háromszögben az utolsó szög meghatározásához, össze kell adnunk a szögek mértékét, ami 180 fok, így a harmadik szög mérete:

C = 180° - 30° - 36,9° ≈ 113,1°

Tehát a hiányzó oldal hossza 5 cm, a B és C szögek pedig körülbelül 36,9° és 113,1°.


3. Feladat
Használjuk a koszinusztételt a szögek kiszámításához. Az oldalak hosszai: a=2 cm, b=6 cm, c=7 cm.

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2 * b * c)

cos(A) = (6² + 7² - 2²) / (2 * 6 * 7)

cos(A) = 0,8571

A szög:

A = cos^(-1)(0,8571) ≈ 31,8°

cos(B) = (a² + c² - b²) / (2 * a * c)

cos(B) = (2² + 7² - 6²) / (2 * 2 * 7)

cos(B) = 0,2857

A szög:

B = cos^(-1)(0,2857) ≈ 71,7°

A háromszögben az utolsó szög mérete:

C = 180° - A - B ≈ 77,5°

Tehát az A, B és C szögek körülbelül 31,8°, 71,7° és 77,5°-ek.


4. Feladat
A háromszögben lévő hiányzó oldalt az alkalmazható szinusz törvény segítségével számolhatjuk ki:

sin A / a = sin B / b = sin C / c

ahol A, B, C a háromszög szögei, a, b, c pedig a megfelelő oldalak hosszúsága.

Ha jelöljük az ismeretlen oldalt c-vel, akkor az egyenletünk:

sin A / a = sin C / c

Átrendezve az egyenletet:

c = a * sin C / sin A

Az adatok behelyettesítése után:

c = 10 cm * sin(67°) / sin(180° - 67° - 90°) ≈ 18,7 cm

Tehát az ismeretlen oldal hossza körülbelül 18,7 cm.

A háromszög szögeit pedig a szögösszeg-tétel segítségével számolhatjuk ki:

A + B + C = 180°

A feladatban már ismerjük A és C szögeket, ezek helyettesítése után:

B = 180° - A - C = 180° - 67° - 90° ≈ 23°

Tehát a háromszög szögei 67°, 90° és 23°.