Jelöljük az egyik társaság tagjainak számát x-szel, és a másikét pedig y-vel. Tudjuk, hogy az egyik társaság tagjai összesen egy fővel többen vannak, mint a másiké, így x = y + 1. Emellett tudjuk, hogy mindkét társaság 6-os találatot ért el a lottón, és összesen 150 000 Ft-ot nyertek. Tehát:
6x + 6y = 150 000
x - y = 1

Ezeket a képleteket megoldva megkapjuk, hogy x = 7 és y = 6. Tehát az egyik társaság 7 főből, a másik pedig 6 főből állt. Ha a nyert összeget elosztjuk a tagok számával, akkor megkapjuk, hogy fejenként 25 000 Ft-ot nyertek mindketten.

Jelöljük a két számot x és y-jal. Tudjuk, hogy az x és y számok szorzata 180, azaz xy = 180. Emellett tudjuk, hogy a négyzetek különbsége 81, azaz x^2 - y^2 = 81. Ezt az utolsó egyenletet átfogalmazhatjuk (x+y)(x-y) = 81 alakba. Az xy = 180 egyenletből az x+y összeget is ki tudjuk fejezni: x+y = 180/y.
Ezt az értéket behelyettesítve a (x+y)(x-y) = 81 egyenletbe, kapjuk:

(180/y)(x-y) = 81

Ezt átrendezve és kibontva az x^2-xy-y^2 = 0 egyenletet kapjuk. Az xy = 180 egyenletből az x értékét ki tudjuk fejezni y segítségével: x = 180/y. Ezt behelyettesítve az x^2-xy-y^2 = 0 egyenletbe, és kicsit átrendezve, megkapjuk:

y^4 - 81y^2 - 180^2 = 0

Ezt a másodfokú egyenletet megoldva megkapjuk, hogy y = 6 vagy y = -6. Mivel a szorzat pozitív, ezért y = 6. Ebből következik, hogy x = 180/y = 30. Tehát a két szám 30 és 6 voltak.

Melyik az a két szám, amelyek összege 6, reciprokaik összege 3/4?
Legyenek az ismeretlen számok x és y. A feltétel alapján rendelkezünk a következő két egyenlettel:

x + y = 6

1/x + 1/y = 3/4

Az első egyenletből y = 6 - x, majd ezt behelyettesítjük a második egyenletbe:

1/x + 1/(6-x) = 3/4

Ezt az egyenletet átalakítva meghatározhatjuk x értékét:

4(6-x) + 4x = 3x(6-x)

24 - 4x + 4x = 18x - 3x^2

3x^2 - 18x + 24 = 0

x^2 - 6x + 8 = 0

(x-4)(x-2) = 0

Ebből következően x=4 vagy x=2. Ha x=4, akkor y=2, ha x=2, akkor y=4. Tehát a két szám 2 és 4.


Jelöljük a paprika árát "p" forint/kg-ban és a paradicsom árát "t" forint/kg-ban.

A háziasszony vásárlása: 4 kg paprika * p Ft/kg + 3 kg paradicsom * t Ft/kg = 930 Ft
A kislány vásárlása: 1,5 kg paprika * p Ft/kg + 1 kg paradicsom * t Ft/kg = 330 Ft

Ez egy kétismeretlenes egyenletrendszer, amelyet megoldhatunk például eliminációval, azaz az egyenletek kivonásával egymásból:

4p + 3t = 930
1,5p + t = 330
2,5p + 2t = 570

Ebből következik, hogy 2,5p = 570 - 2t, és ha ezt behelyettesítjük az egyik eredeti egyenletbe, például a másodikba:

1,5p + t = 330
1,5(570 - 2t)/2,5 + t = 330
342 - 3t/2 + 2t/2 = 330
t/2 = 6
t = 12

Tehát a paradicsom ára 12 Ft/kg. Ha ezt behelyettesítjük az egyik eredeti egyenletbe, például az elsőbe:

4p + 3t = 930
4p + 3 * 12 = 930
4p = 894
p = 223,5

Tehát a paprika ára 223,5 Ft/kg.

Vagyis az árusnál a paprika 223,5 Ft/kg, a paradicsom pedig 12 Ft/kg áron kapható.