Csillagászat

A Nap és egy bolygó között fellépő gravitációs erő szolgáltatja a bolygó körpályán tartásához szükséges centripetális erőt:

`gamma (m_N*m_b)/r^2=(m_bv^2)/r`

`gamma m_N/r=v^2`

Vagyis egy bolygó keringési sebessége `v=sqrt(gamma m_N/r)`, keringési ideje pedig `T=(2pir)/v=2pi sqrt(r^3/(gamma m_N))`. Tehát a bolygók keringési ideje a Naptól való távolságuk `3/2`-ik hatványával egyenesen arányos.

1)
A Mars keringési ideje a Földénél 1,881-szer nagyobb, tehát távolsága `1.881^(2/3)`-szor nagyobb, vagyis `r_(Mars)=1.5*10^8*1.881^(2/3)~~2.29*10^8 km`.

2)
A Merkúr Naptól mért távolsága a Földének `(5.785*10^7)/(1.5*10^8)=0.3857`-szerese, tehát a keringési ideje `T_(Merkúr)=1*0.3857^(3/2)~~0.2395` év, vagyis kb. 87 nap.

3)
Az 1. feladat szövege szerint a Föld-nap távolság `1.5*10^8` km, és egy teljes kört 1 év alatt tesz meg a bolygó, akkor a sebessége:
`v=(2pir)/T=(2pi*1.5*10^8)/(365.25*24*60*60)~~29.9 (km)/s`