Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Integrálás
kapesmate
kérdése
843
Mennyi az integrál 3^(1/2)/2 től 1-ig 1/(x*(1-x^2)^(1/2))?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
függvény, összeg, integrál, deriválás, konvergens, riemann, véges, antiderivált, F, primitív
függvény, összeg, integrál, deriválás, konvergens, riemann, véges, antiderivált, F, primitív
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Erre gondolsz?
`int_(sqrt3/2)^1 1/(x·sqrt(1-x^2)) dx`
Legyen `u=sqrt(1-x^2)` (amiből `1-u^2=x^2`)
Az integrálás határai u-ban:
`sqrt3/2` → `sqrt(1-3/4)=1/2`
`1\ \ \ \ \ ` → `sqrt(1-1) = 0`
`(du)/(dx)=1/2·1/sqrt(1-x^2)·(-2x) = (-x)/sqrt(1-x^2)`
vagyis `dx = sqrt(1-x^2)/(-x) du`
`int_(1/2)^0 1/(x·sqrt(1-x^2)) sqrt(1-x^2)/(-x) du = int_(1/2)^0 1/(-x^2) du`
`x^2`-et át tudjuk írni `u`-sra, a negatív előjel miatt pedig az integrálás határai felcserélődnek.
`int_0^(1/2) 1/(1-u^2) du`
Ennek az `"arth"\ u` a primitív függvénye (mivel most -1 és +1 között van a tartomány, ahol keressük a primitív függvényt. Lehetne `"arcth"\ u` is, mindkettőnek ugyanaz a deriváltja, de az integrálási tartományban az arth van definiálva.)
(itt van egy jó kis puska az ilyenekhez: http://keszei.chem.elte.hu/fizkem1/Kalkulus_tablazat.pdf )
(bár most lehet, hogy ez a jobb: http://compalg.inf.elte.hu/~zslang/SziliDER-TABL.pdf )
Vagyis az integrál értéke ez lesz:
`["arth"\ u]_0^(1/2)`
Az `"arth"` függvényről azt is kellene most tudni, hogy kifejezhető logaritmusokkal is:
`"arth"\ x = 1/2·"ln"(1+x)/(1-x)`
... fejezd be...
`int_(sqrt3/2)^1 1/(x·sqrt(1-x^2)) dx`
Legyen `u=sqrt(1-x^2)` (amiből `1-u^2=x^2`)
Az integrálás határai u-ban:
`sqrt3/2` → `sqrt(1-3/4)=1/2`
`1\ \ \ \ \ ` → `sqrt(1-1) = 0`
`(du)/(dx)=1/2·1/sqrt(1-x^2)·(-2x) = (-x)/sqrt(1-x^2)`
vagyis `dx = sqrt(1-x^2)/(-x) du`
`int_(1/2)^0 1/(x·sqrt(1-x^2)) sqrt(1-x^2)/(-x) du = int_(1/2)^0 1/(-x^2) du`
`x^2`-et át tudjuk írni `u`-sra, a negatív előjel miatt pedig az integrálás határai felcserélődnek.
`int_0^(1/2) 1/(1-u^2) du`
Ennek az `"arth"\ u` a primitív függvénye (mivel most -1 és +1 között van a tartomány, ahol keressük a primitív függvényt. Lehetne `"arcth"\ u` is, mindkettőnek ugyanaz a deriváltja, de az integrálási tartományban az arth van definiálva.)
(itt van egy jó kis puska az ilyenekhez: http://keszei.chem.elte.hu/fizkem1/Kalkulus_tablazat.pdf )
(bár most lehet, hogy ez a jobb: http://compalg.inf.elte.hu/~zslang/SziliDER-TABL.pdf )
Vagyis az integrál értéke ez lesz:
`["arth"\ u]_0^(1/2)`
Az `"arth"` függvényről azt is kellene most tudni, hogy kifejezhető logaritmusokkal is:
`"arth"\ x = 1/2·"ln"(1+x)/(1-x)`
... fejezd be...
0
- Még nem érkezett komment!