> Ha ξ egyenletes eloszlású a [0,1] szakaszon, akkor exp(ξ ) várható értéke
ξ sűrűségfüggvény: `f(x)=1, "ha"\ 0 <= x <= 1`
exp(ξ ) várható értéke:
`E(e^ξ) = int_(-∞)^(+∞) e^x·f(x) dx = int_0^1 e^x dx = e^1-e^0 = e-1`

Ha ξ egyenletes eloszlású a [0,1] szakaszon, akkor exp(−ξ ) várható értéke
`E(e^(-ξ)) = int_(-∞)^(+∞) e^(-x)·f(x) dx = int_0^1 e^(-x) dx`
A primitív függvény `-e^(-x)`:
` = -e^(-1)-(-e^0) = 1-1/e`

Folytatom:
> Ha négyzetgyök(ξ) egyenletes eloszlású a [0,1] szakaszon, akkor ξ^2 várható értéke
Legyen `ζ=sqrt(ξ)`
`ζ` egyenletes eloszlású. Sűrűségfüggvénye: `g(x) = 1\ "ha"\ 0 <= x <= 1`
`ξ = ζ^2\ \ \ → \ \ ξ^2 = ζ^4`
`E(ξ^2)=E(ζ^4)=int_(-∞)^(+∞)x^4·g(x) dx=int_0^1x^4 dx = 1/5`

> Ha 1/ξ egyenletes eloszlású a [0,1] szakaszon, akkor ξ^2 várható értéke?
Megjegyzés: `ξ` értékei 1 és ∞ közé esnek! Akkor lesz a reciprok 0 és 1 között.
Legyen `ζ=1/ξ`, itt is ζ sűrűségfüggvénye `g(x)=1 \ "ha"\ 0 ≤ x ≤ 1`

`ξ=1/ζ \ \ \ → \ \ ξ^2=1/ζ^2`
Csak a végét írom:
`E(1/ζ^2)=int_0^1 1/x^2 dx = [-1/x]_0^1` ami végtelen!!

---------------

Fura eredmény lett, ezért kiszámoltam "hivatalosabban" is:
Ha `ξ` sűrűségfüggvénye `f(x)`, akkor `ζ = r(ξ) = 1/ξ` sűrűségfüggvénye (`g(y)`) így jön ki:
`g(y) = f(r^(-1)(y))·|d/(dy)r^(-1)(y)|`
Na most r() inverze: `r^(-1)(y)=1/y` (ugyanaz, mint r() maga)
Az inverz deriváltja pedig: `d/(dy)1/y=-1/y^2`

Vagyis:
`g(y) = f(1/y)·1/y^2`
Erről tudjuk, hogy egyenletes eloszlású, vagyis `g(y)=1` a [0;1] intervallumon:
`f(1/y)·1/y^2 = 1`
`f(1/y) = y^2`
Ami azt jelenti, hogy:
`f(x) = 1/x^2`

Ez tehát `ξ`-nek a sűrűségfüggvénye, ha `1 ≤ x ≤ ∞`

Ellenőrzésképpen: az `1/ξ` várható értéke (ennek egyenletes eloszlásúnak kell lennie [0;1]-en, vagyis a várható értékre `1/2` kell kijöjjön):
`E(1/ξ)=int_1^∞ 1/x·1/x^2 dx = [-1/(2x^2)]_1^∞ = 1/2` rendben van.

Akkor a feladat kérdése: `ξ^2` várható értéke:
`E(ξ^2) = int_(-∞)^(+∞) x^2·f(x) dx = int_1^(+∞) x^2·1/x^2 dx`
ami megint csak végtelen, ugyanaz jön ki így is.