Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Matematika állítólag 11.es feladat Kombinatorika

598
Sziasztok!

Nem házira kellene, hanem csak egyszerűen érdekel a feladat megoldása, mert nem tudom kiszámolni, vagyis nagyon nem az jön ki amit ír a megoldókulcs. Sajnos megoldás az nincs mellékelve.
Levezetéssel együtt, szeretném kérni.

A feladat szöveg:
Egy dobozban tíz különböző színű üveggolyó van, mindegyik színből nyolc-nyolc darab. A golyók közül ötöt felfűzünk
egy láncra. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? (Két felfűzést csak akkor tekintünk azonosnak, ha a megegyező színű
golyókat ugyanabban a sorrendben fűzzük fel.)

én odáig jutottam el, hogy 80 daraból kiválasztok ötöt, de 80 nCr 5, de így el is akadtam.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Matematika, kombinatorika
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Alapvetően 5 esetet kell megkülönböztetni, attól függően, hogy hány színt használunk fel a lánchoz. Ha mind az 5 egyszínű, akkor a színt 10 féleképpen választhatjuk, a felfűzést meg nyilván csak egyféleképpen tudjuk csinálni. Ez 10*1=10 eset.

Ha két színt használunk, akkor először a két szín `((10),(2))=45` féleképpen választható. Az egyik színből egy van, a másikból négy, vagy pedig az egyikből kettő van, a másikból három. A szerepek felcserélhetősége miatt ez 4 eset a két színt használó eseten belül. Mivel lesznek azonos színű elemeink, ez ismétléses permutáció, azaz az azonos elemek faktoriálisával osztanunk kell. Tehát két színnel `((10),(2))*(2*(5!)/(4!)+2*(5!)/(2!*3!)) = 1350` féle lánc készíthető.

Nézzük mi a helyzet 3 színnel. Ekkor is lesz pár alesetünk, az egyik színből három van, a másik kettőből egy-egy, vagy pedig egy színből egy van, a másik kettő színből pedig kettő-kettő. Más eset nem lehet, mert mind a 3 színnek szerepelnie kell. A szerepek természetesen most is felcserélhetőek. Tehát három színnel `((10),(3))*(3*(5!)/(3!)+3*(5!)/(2!*2!)) = 18000` féle lánc készíthető.

Ha négy színt használunk, akkor az egyik színből kettő van, a többi különböző. Tehát négy színnel `((10),(4))*4*(5!)/(2!) = 50400` féle lánc készíthető.

Öt szín esetén nyilván mindegyik különböző, ezért ilyen féle láncból `((10),(5))*5! = 30240` db lesz.

Mindent összevetve az összes készíthető lánc száma: `10+1350+18000+50400+30240 = 100000`
0